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Formfunktionen für dreidimensionale Volumenelemente

Dieses Kapitel fasst die natürlichen Koordinatensysteme und die konkreten Formen der in Formfunktionen und Finite-Elemente-Approximation eingeführten Formfunktionen \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) für die von FrontISTR in der Kontinuumsanalyse verwendeten dreidimensionalen Volumenelemente zusammen. Behandelt werden sechs Elementtypen: Tetraeder 1./2. Ordnung (341/342), Dreiecksprismen 1./2. Ordnung (351/352) und Hexaeder 1./2. Ordnung (361/362). Zur Knotenreihenfolge und den Flächennummern im HEC-MW-Netzformat siehe die Elementbibliothek in der Funktionsreferenz.

Die Konstruktion der Elementintegrale aus diesen Formfunktionen und der Jacobi-Determinante erfolgt gemäß Numerische Integration. Die B-bar-, F-bar- und inkompatiblen Formulierungen für 361 sowie die Formfunktionen für Balken- und Schalenelemente werden unter Erweiterte Elementformulierungen behandelt.

Natürliche Koordinatensysteme und interne Knotenreihenfolge

Die Formfunktionen werden auf den natürlichen Koordinaten \(\boldsymbol{r}\) jedes Elements definiert. Für dreidimensionale Volumenelemente werden je nach Elementform die folgenden drei natürlichen Koordinatensysteme verwendet.

  • Hexaeder (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraeder (341/342): Volumenkoordinaten \((L_1, L_2, L_3, L_4)\) mit \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) und \(L_i \ge 0\). Als unabhängige Variablen wird \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) verwendet; dabei ist \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Dreiecksprismen (351/352): Die Volumenkoordinaten \((\xi, \eta)\) des Grunddreiecks (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) werden mit der axialen Koordinate \(\zeta \in [-1, 1]\) kombiniert, sodass \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) gilt. Die Hilfsgröße \(a = 1 - \xi - \eta\) wird als dritte Volumenkoordinate der Grundfläche verwendet.

Bei Elementen erster Ordnung stimmen die Elementknotennummern im HEC-MW-Eingabeformat und im internen Format überein. Bei Elementen zweiter Ordnung unterscheiden sich die Konventionen für die Reihenfolge der Mittelknoten. FrontISTR akzeptiert das HEC-MW-Format als Eingabe (zunächst werden die Eckknoten umlaufend, danach die Mittelknoten in der Reihenfolge der Kanten 1-2, 2-3, … aufgeführt), während die Formfunktionen in der Elementbibliothek unter Annahme einer anderen Knotenreihenfolge implementiert sind.

Der Unterschied zwischen den beiden Formaten wird dadurch aufgelöst, dass hecmw2fstr_mesh_conv, das unmittelbar nach dem Einlesen des Netzes aufgerufen wird, die Knoten für jedes Element neu anordnet. Unter den dreidimensionalen Volumenelementen werden die folgenden zwei Typen konvertiert.

Elementtyp Konvertierungstabelle Beschreibung
342 (Tetraeder 2. Ordnung) Table342 Ordnet die 10 Knoten zu \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) um
352 (Dreiecksprisma 2. Ordnung) Table352 Ordnet die 15 Knoten zu \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) um

Da die Neuordnung direkt auf dem Array mit den Elementkonnektivitäten erfolgt, verwenden alle nachfolgenden Aufrufe der Elementbibliothek die interne Knotenreihenfolge von FrontISTR. Für das Hexaederelement zweiter Ordnung 362 gibt es keine Konvertierungstabelle, weil die Reihenfolge der Mittelknoten im HEC-MW-Eingabeformat und im internen FrontISTR-Format übereinstimmt. Bei der Ergebnisausgabe stellt die inverse Konvertierung fstr2hecmw_mesh_conv vor dem Schreiben die HEC-MW-Knotenreihenfolge wieder her; Anwender müssen daher sowohl bei Ein- als auch Ausgabe nur das HEC-MW-Format berücksichtigen. Die in den folgenden Formfunktionen angegebenen Knotennummern entsprechen dem konvertierten internen FrontISTR-Format.

Formfunktionen der Elemente erster Ordnung

Für das Tetraederelement erster Ordnung (341) entsprechen die Formfunktionen unmittelbar den Volumenkoordinaten:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Für das Dreiecksprisma erster Ordnung (351) sind die Formfunktionen Produkte aus den linearen Formfunktionen des Grunddreiecks (\(a, \xi, \eta\)) und den linearen axialen Formfunktionen (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Für das Hexaederelement erster Ordnung (361) sind die Formfunktionen Tensorprodukte der linearen Formfunktionen in den drei Koordinatenrichtungen:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Hier bezeichnen \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) die natürlichen Koordinatenwerte des Knotens \(\alpha\) (jede Komponente ist \(\pm 1\)).

Formfunktionen der Elemente zweiter Ordnung

Beim Tetraederelement zweiter Ordnung (342) gliedern sich die Formfunktionen in vier Eckknoten und sechs Mittelknoten:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Die Mittelknoten 5–10 entsprechen jeweils den Mittelpunkten der Kanten 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 und 3-4.

Das Dreiecksprisma zweiter Ordnung (352) besteht aus sechs Eckknoten, sechs Mittelknoten auf den Dreiecksflächen und drei Mittelknoten auf den axialen Kanten:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Die Mittelknoten 7–9 entsprechen den Kantenmittelpunkten des unteren Dreiecks (\(\zeta = -1\)), die Knoten 10–12 den Kantenmittelpunkten des oberen Dreiecks (\(\zeta = +1\)) und die Knoten 13–15 den Mittelpunkten der axialen Kanten.

Das Hexaederelement zweiter Ordnung (362) ist ein 20-Knoten-Element der Serendipity-Familie. Die natürlichen Koordinatenwerte des Knotens \(\alpha\) seien \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Für die Eckknoten (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), jede Komponente ist \(\pm 1\)) gilt

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Für die Mittelknoten (\(\alpha = 9, \ldots, 20\)), bei denen eine der drei natürlichen Koordinaten \(0\) und die beiden übrigen \(\pm 1\) sind, gilt für Knoten mit \(\xi_\alpha = 0\) (Kantenrichtung entlang der \(\xi\)-Achse)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Mittelknoten mit Kantenrichtung entlang der \(\eta\)- bzw. \(\zeta\)-Achse werden analog angegeben, wobei die entsprechende natürliche Koordinate durch den quadratischen Term eliminiert wird.

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