Перейти к содержанию

Функции формы трехмерных объемных элементов

В этой главе для функций формы \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), введенных в разделе Функции формы и конечно-элементная аппроксимация, приведены естественные системы координат и явные выражения для трехмерных объемных элементов, используемых FrontISTR при анализе сплошных сред. Рассматриваются шесть типов: тетраэдры первого и второго порядка (341・342), треугольные призмы первого и второго порядка (351・352), а также шестигранники первого и второго порядка (361・362). Порядок узлов и номера граней в формате сетки HEC-MW см. в разделе Библиотека элементов справочника функций.

Процедура построения интегрирования по элементу на основе этих функций формы и определителя якобиана описана в разделе Численное интегрирование. Формулировки B-bar, F-bar и несовместная формулировка для 361, а также функции формы балочных и оболочечных элементов рассматриваются в разделе Высокоэффективные формулировки элементов.

Естественные системы координат и внутренний порядок узлов

Функции формы определяются в естественных координатах \(\boldsymbol{r}\) каждого элемента. Для трехмерных объемных элементов в зависимости от формы элемента используются следующие три системы естественных координат.

  • Шестигранники (361・362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Тетраэдры (341・342): объемные координаты \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). В качестве независимых переменных принимаются \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), а \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Треугольные призмы (351・352): объемные координаты \((\xi, \eta)\) треугольного основания (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) объединяются с осевой координатой \(\zeta \in [-1, 1]\), так что \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Вспомогательная величина \(a = 1 - \xi - \eta\) используется как третья объемная координата основания.

Для элементов первого порядка нумерация узлов совпадает во входном формате HEC-MW и во внутреннем формате. Для элементов второго порядка соглашения о порядке промежуточных узлов на ребрах различаются: FrontISTR принимает на входе формат HEC-MW (сначала перечисляются угловые узлы по контуру, затем промежуточные узлы в порядке ребер 1-2, 2-3, …), тогда как функции формы в библиотеке элементов реализованы для другого порядка узлов.

Различие между форматами устраняется функцией hecmw2fstr_mesh_conv, вызываемой сразу после чтения сетки и переупорядочивающей узлы каждого элемента. Среди трехмерных объемных элементов преобразуются следующие два типа.

Тип элемента Таблица преобразования Содержание
342 (тетраэдр второго порядка) Table342 10 узлов переупорядочиваются в \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (треугольная призма второго порядка) Table352 15 узлов переупорядочиваются в \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Поскольку переупорядочивание выполняется непосредственно в массиве связности элементов, все последующие обращения к библиотеке элементов используют внутренний порядок узлов FrontISTR. Для шестигранного элемента второго порядка 362 таблица преобразования отсутствует, поскольку порядок промежуточных узлов во входном формате HEC-MW совпадает с внутренним порядком FrontISTR. При выводе результатов вызывается обратное преобразование fstr2hecmw_mesh_conv, которое восстанавливает порядок узлов HEC-MW перед записью; поэтому пользователю достаточно учитывать только формат HEC-MW как при вводе, так и при выводе. Номера узлов в приведенных ниже функциях формы соответствуют внутреннему формату FrontISTR после преобразования.

Функции формы элементов первого порядка

Функции формы тетраэдрального элемента первого порядка (341) совпадают с объемными координатами:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Функции формы треугольного призматического элемента первого порядка (351) являются произведениями линейных функций формы треугольного основания (\(a, \xi, \eta\)) и линейных функций формы в осевом направлении (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Функции формы шестигранного элемента первого порядка (361) являются тензорным произведением линейных функций формы по трем координатным направлениям:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Здесь \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) — значения естественных координат узла \(\alpha\) (каждая компонента равна \(\pm 1\)).

Функции формы элементов второго порядка

Функции формы тетраэдрального элемента второго порядка (342) разделяются на четыре угловых и шесть промежуточных узлов ребер:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Промежуточные узлы 5–10 соответствуют серединам ребер 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 и 3-4 соответственно.

Функции формы треугольного призматического элемента второго порядка (352) включают шесть угловых узлов, шесть промежуточных узлов ребер на треугольных гранях и три промежуточных узла осевых ребер:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Промежуточные узлы 7–9 соответствуют серединам ребер нижнего треугольника (\(\zeta = -1\)), узлы 10–12 — серединам ребер верхнего треугольника (\(\zeta = +1\)), а узлы 13–15 — серединам осевых ребер.

Шестигранный элемент второго порядка (362) является 20-узловым элементом семейства Serendipity. Обозначим естественные координаты узла \(\alpha\) как \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Для угловых узлов (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), каждая компонента равна \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Для промежуточных узлов ребер (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), одна из трех естественных координат равна \(0\), а две остальные — \(\pm 1\)) для узлов с \(\xi_\alpha = 0\) (ребро ориентировано вдоль оси \(\xi\))

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Для промежуточных узлов ребер, ориентированных вдоль осей \(\eta\) и \(\zeta\), выражения задаются аналогично: соответствующая естественная координата исключается квадратным множителем.

Связанные разделы