Перейти к содержанию

Функции формы и конечно-элементная аппроксимация

Чтобы вычислительно обрабатывать слабую форму принципа виртуальных работ, область тела разбивается на конечное число элементов, а материальные координаты, перемещения и тестовые функции внутри элемента интерполируются по узловым значениям с помощью функций формы. Пространственные производные функций формы рассматриваются в разделе Пространственные производные функций формы, дискретизация слабой формы — в разделе Дискретизация виртуальной работы внутренних сил, а конкретные формы функций формы для различных типов элементов — начиная с раздела Система нумерации элементов и библиотека функций формы.

Разбиение области и представление интегралов суммой по элементам

Область \(\Omega_0\) в начальной конфигурации и область \(\Omega\) в текущей конфигурации аппроксимируются объединением элементов \(\Omega^e_0\) и \(\Omega^e\) соответственно:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

Здесь \(e\) — номер элемента, а границы элементов совместно используются соседними элементами. Благодаря этому объемные и поверхностные интегралы из принципа виртуальных работ раскладываются в сумму интегралов по отдельным элементам:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

Для текущей конфигурации аналогично выполняются замены \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\). Далее вычисление слабой формы сводится к построению интегралов по отдельным элементам.

Интерполяция по узловым значениям и функциям формы (изопараметрические элементы)

Каждому элементу \(\Omega^e_0\) назначается \(n_e\) узлов. Координаты в начальной конфигурации и узловые перемещения узла элемента \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) обозначаются \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Составленные из них векторы узлов элемента \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) получают из глобальных узловых векторов \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) — общее число узлов), извлекая только компоненты узлов, образующих элемент \(e\).

С помощью функций формы \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), параметризованных естественными координатами \(\boldsymbol{r}\), то есть локальными координатами внутри элемента, материальные координаты, перемещения и тестовые функции внутри элемента интерполируются одной и той же функцией формы (изопараметрический элемент, метод Галеркина):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Функции формы строятся так, чтобы удовлетворять следующим двум свойствам, а форму элемента выбирают так, чтобы отображение \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) из естественных координат в материальные было взаимно однозначным внутри элемента:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

Здесь \(\boldsymbol{r}_\alpha\) — точка в естественных координатах, соответствующая узлу \(\alpha\), а \(\delta_{\alpha\beta}\) — дельта Кронекера. Первое равенство гарантирует воспроизведение жесткого поступательного перемещения, второе — совпадение интерполированного значения с узловым значением в узле. Конкретные значения \(n_e\) и формы \(N_\alpha^e\) для каждого типа элемента приведены начиная с раздела Система нумерации элементов и библиотека функций формы. Чтобы не перегружать обозначения, зависимость от типа элемента представляется верхним индексом \(e\) для каждого элемента.

По этим правилам интерполяции подынтегральную функцию слабой формы можно выразить только через узловые значения элемента \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) и \(N_\alpha^e\). Однако деформации выводятся из интерполированного перемещения и соотношения деформаций и перемещений, а напряжения — из этих деформаций и определяющих соотношений материала; они не интерполируются непосредственно из узловых значений. Эти величины вычисляются в точках интегрирования внутри элемента (Численное интегрирование).

Правило упорядочивания глобального узлового вектора

Физические величины, назначенные узлам, в глобальном узловом векторе располагаются по возрастанию в порядке номер узла → степень свободы. Если компоненту степени свободы \(i\) в узле \(\alpha\) обозначить \(u_{i\alpha}\), то для трехмерного случая (\(i=1,2,3\)) и двумерного случая (\(i=1,2\)) соответственно получаем

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Координаты \(\boldsymbol{X}^n\) и тестовая функция \(\delta\boldsymbol{u}^n\) упорядочиваются таким же образом. Далее преобразования в матрично-векторной форме записываются на примере трехмерного случая.

Связанные разделы