انتقل إلى المحتوى

دوال الشكل وتقريب العناصر المحدودة

لمعالجة الصيغة الضعيفة لـمبدأ الشغل الافتراضي حاسوبيًا، يُقسَّم مجال الجسم إلى عدد محدود من العناصر، وتُستوفى إحداثيات نقاط المادة والإزاحة ودالة الاختبار داخل كل عنصر من القيم العقدية ودوال الشكل. تُعرض المشتقات المكانية لدوال الشكل في المشتقات المكانية لدوال الشكل، ويُعرض تقطيع الصيغة الضعيفة في تقطيع الشغل الافتراضي الداخلي، أما الصيغ المحددة لدوال الشكل لكل نوع عنصر فتُعرض ابتداءً من نظام ترقيم العناصر ومكتبة دوال الشكل.

تقسيم المجال ومجاميع التكامل على العناصر

يُقرَّب المجال \(\Omega_0\) في التهيئة المرجعية والمجال \(\Omega\) في التهيئة الحالية باتحاد العناصر \(\Omega^e_0\) و\(\Omega^e\)، على الترتيب:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) هو رقم العنصر، وحدود العناصر مشتركة بين العناصر المتجاورة). وبذلك تتحلل تكاملات الحجم والسطح في مبدأ الشغل الافتراضي إلى مجاميع تكاملات على العناصر المنفردة:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(وينطبق الأمر نفسه على التهيئة الحالية باستبدال \(dV \to dv\) و\(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) و\(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)). ومن هنا فصاعدًا، يُختزل تقييم الصيغة الضعيفة إلى بناء التكاملات على مستوى كل عنصر.

الاستيفاء باستخدام القيم العقدية ودوال الشكل (العناصر متساوية المعلمات)

يُسند إلى كل عنصر \(\Omega^e_0\) عدد \(n_e\) من العقد. ولتكن إحداثيات التهيئة المرجعية وإزاحات العقدة للعنصر عند العقدة \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) هي \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). ويُعرَّف متجها العقد للعنصر \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) و\(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) بترتيب هذه القيم؛ وهما يحتويان فقط على مركبات العقد المكوِّنة للعنصر \(e\) المستخرجة من متجهي العقد الكليين \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) هو العدد الكلي للعقد).

باستخدام الإحداثيات الطبيعية \(\boldsymbol{r}\)، وهي الإحداثيات المحلية داخل العنصر، بوصفها معلمات، تستوفي دوال الشكل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) إحداثيات المادة والإزاحة ودالة الاختبار داخل العنصر باستخدام دوال الشكل نفسها (العنصر متساوي المعلمات وطريقة Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

تُنشأ دوال الشكل بحيث تحقق الخاصيتين التاليتين، ويُختار شكل العنصر بحيث يكون التحويل \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) من الإحداثيات الطبيعية إلى إحداثيات المادة واحدًا لواحد داخل العنصر:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) هي النقطة في الإحداثيات الطبيعية المقابلة للعقدة \(\alpha\)، و\(\delta_{\alpha\beta}\) هي دلتا Kronecker). تضمن المعادلة الأولى إعادة إنتاج الانتقال كجسم صلب، وتضمن الثانية أن تتطابق القيمة المستوفاة مع القيمة العقدية عند العقدة. تُعرض الصيغ المحددة لـ\(n_e\) و\(N_\alpha^e\) لكل نوع عنصر في نظام ترقيم العناصر ومكتبة دوال الشكل وما بعده. ولتجنب تعقيد الرموز، يُمثَّل الاعتماد على نوع العنصر بالرمز العلوي \(e\) الخاص بكل عنصر.

بفضل قواعد الاستيفاء أعلاه، يمكن التعبير عن دالة التكامل في الصيغة الضعيفة فقط بدلالة القيم العقدية للعنصر \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) و\(N_\alpha^e\). أما الانفعال فيُشتق من الإزاحة المستوفاة وعلاقة الانفعال-الإزاحة، ويُشتق الإجهاد من ذلك الانفعال وقانون المادة التكويني؛ ولا تُستوفى هذه الكميات مباشرة من القيم العقدية. وتُقيَّم عند نقاط التكامل داخل العنصر (التكامل العددي).

قاعدة ترتيب متجهات العقد الكلية

تُرتَّب الكميات الفيزيائية المسندة إلى العقد في متجه العقد الكلي تصاعديًا وفق رقم العقدة → درجة الحرية. وإذا كانت مركبة درجة الحرية \(i\) عند العقدة \(\alpha\) هي \(u_{i\alpha}\)، ففي ثلاثة أبعاد (\(i=1,2,3\)) وبعدين (\(i=1,2\))، على الترتيب،

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

تتبع الإحداثيات \(\boldsymbol{X}^n\) ودالة الاختبار \(\delta\boldsymbol{u}^n\) الترتيب نفسه. ومن هنا فصاعدًا، تُكتب الاشتقاقات في صيغة المصفوفات والمتجهات باستخدام الحالة ثلاثية الأبعاد بوصفها ممثلة.

موضوعات ذات صلة