Ana içeriğe geç

Şekil Fonksiyonları ve Sonlu Eleman Yaklaşımı

Sanal iş ilkesi'nin zayıf biçimini hesaplamalı olarak ele almak için cisim bölgesi sonlu sayıda elemana bölünür ve her eleman içindeki maddi nokta koordinatları, yer değiştirme ve test fonksiyonu, düğüm değerleri ve şekil fonksiyonlarından enterpole edilir. Şekil fonksiyonlarının uzaysal türevleri Şekil Fonksiyonlarının Uzaysal Türevleri, zayıf biçimin ayrıklaştırılması İç Sanal İşin Ayrıklaştırılması, her eleman türü için şekil fonksiyonlarının özel biçimleri ise Eleman Numaralandırma Sistemi ve Şekil Fonksiyonu Kütüphanesi ve sonraki bölümlerde ele alınır.

Bölgenin Parçalanması ve İntegrallerin Eleman Bazlı Toplamları

Referans konfigürasyonundaki \(\Omega_0\) bölgesi ve güncel konfigürasyondaki \(\Omega\) bölgesi, sırasıyla \(\Omega^e_0\) ve \(\Omega^e\) elemanlarının birleşimleriyle yaklaşık olarak gösterilir:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) eleman numarasıdır ve eleman sınırları komşu elemanlar arasında ortaktır.) Bu, sanal iş ilkesi'ndeki hacim ve yüzey integrallerini tek tek elemanlar üzerindeki integrallerin toplamına ayırır:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Aynı işlem güncel konfigürasyon için \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) ve \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) değiştirilerek geçerlidir.) Bundan sonra zayıf biçimin değerlendirilmesi, integrallerin eleman bazında oluşturulmasına indirgenir.

Düğüm Değerleri ve Şekil Fonksiyonlarıyla Enterpolasyon (İzoparametrik Elemanlar)

Her \(\Omega^e_0\) elemanına \(n_e\) düğüm atanır. \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) eleman düğümünün referans-konfigürasyon koordinatları ve düğüm yer değiştirmeleri \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) olsun. Eleman düğüm vektörleri \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ve \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) bu değerler sıralanarak oluşturulur; bunlar, global düğüm vektörleri \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)'den (\(n_g\) toplam düğüm sayısıdır) yalnızca \(e\) elemanını oluşturan düğümlerin bileşenlerini içerir.

Eleman içindeki yerel koordinatlar olan doğal koordinatlar \(\boldsymbol{r}\) parametre olarak kullanıldığında, şekil fonksiyonları \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) eleman içindeki maddi koordinatları, yer değiştirmeyi ve test fonksiyonunu aynı şekil fonksiyonlarıyla enterpole eder (izoparametrik eleman ve Galerkin yöntemi):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Şekil fonksiyonları aşağıdaki iki özelliği sağlayacak şekilde oluşturulur ve eleman geometrisi, doğal koordinatlardan maddi koordinatlara \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) eşlemesi eleman içinde bire bir olacak şekilde seçilir:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\), \(\alpha\) düğümüne karşılık gelen doğal koordinat noktasıdır ve \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker deltasıdır.) İlk denklem rijit-cisim ötelemesinin yeniden üretimini, ikinci denklem ise enterpole edilen değerin her düğümde düğüm değeriyle çakışmasını garanti eder. Her eleman türü için \(n_e\) ve \(N_\alpha^e\)'nin özel biçimleri Eleman Numaralandırma Sistemi ve Şekil Fonksiyonu Kütüphanesi ve sonraki bölümlerde verilmiştir. Gösterimi gereksiz yere karmaşıklaştırmamak için eleman türüne bağımlılık, eleman bazlı üst indis \(e\) ile temsil edilir.

Yukarıdaki enterpolasyon kurallarıyla zayıf biçimin integrandı yalnızca eleman düğüm değerleri \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ve \(N_\alpha^e\) cinsinden ifade edilebilir. Buna karşılık gerinim, enterpole edilmiş yer değiştirmeden ve gerinim-yer değiştirme bağıntısından, gerilme ise bu gerinimden ve malzeme kurucu yasasından türetilir; bu nicelikler doğrudan düğüm değerlerinden enterpole edilmez. Eleman içindeki integrasyon noktalarında değerlendirilirler (Sayısal İntegrasyon).

Global Düğüm Vektörleri için Sıralama Kuralı

Düğümlere atanan fiziksel nicelikler global düğüm vektöründe düğüm numarası → serbestlik derecesi artan sırasına göre düzenlenir. \(\alpha\) düğümünde serbestlik derecesi bileşeni \(i\), \(u_{i\alpha}\) ile gösterilirse, sırasıyla üç boyutta (\(i=1,2,3\)) ve iki boyutta (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinatlar \(\boldsymbol{X}^n\) ve test fonksiyonu \(\delta\boldsymbol{u}^n\) aynı sıralamayı izler. Bundan sonra matris ve vektör biçimindeki türetimlerde üç boyutlu durum temsilî olarak kullanılır.

İlgili Konular