Ana içeriğe geç

Doğrusal Elastisite

Bu bölüm doğrusal elastik malzemelerin kurucu bağıntısını (Hooke yasası) ele alır. Model seçimi ve girdi tanımının ayrıntıları için işlevler bölümündeki 03_material sayfasına bakın.

Olgu (Doğrusal Elastik Cevap)

Doğrusal elastik malzeme, yük altındaki gerinimin yeterince küçük olduğu bölgede gerilme ile gerinim arasında doğrusal ilişki gösteren ve yük kaldırıldığında tüm gerinimin başlangıç durumuna döndüğü tersinir, geçmişten bağımsız bir malzemedir. Plastisite veya sünmeden farklı olarak durumu temsil eden iç değişkenlere (plastik gerinim veya viskoz gerinim gibi) sahip değildir; gerilme yalnızca mevcut gerinim tarafından tekil olarak belirlenir.

Küçük deformasyon bölgesinde Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\) ve sonsuz küçük gerinim \(\boldsymbol{\varepsilon}\) kullanılır; sonlu deformasyon bölgesinde (büyük dönmeler içeren ancak gerinimin kendisinin küçük olduğu problemler) ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{S}\) ve Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\) kullanılır (St.Venant-Kirchhoff malzemesi).

Kurucu Bağıntı

İzotropik Doğrusal Elastik Malzeme

Küçük deformasyon bölgesinde izotropik Hooke yasası, Lamé sabitleri \(\lambda, \mu\) kullanılarak

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

biçiminde ifade edilir. Bileşen gösteriminde

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

olur ve gerinimle çift büzülme \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) bağıntısını verir. Lamé sabitleri Young modülü \(E\) ve Poisson oranı \(\nu\) ile aşağıdaki ilişkiye sahiptir:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt gösteriminde gerinim vektörü \(\hat{\varepsilon}\) ile gerilme vektörü \(\hat{\sigma}\) arasındaki ilişki \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) olarak yazılır ve üç boyutlu malzeme matrisi \(D\)

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ile verilir (uygulamada bu matris gösterimi kullanılır).

Ortotropik Doğrusal Elastik Malzeme

Ana eksen yönlerine göre elastik sabitleri değişen malzemelerde dokuz bağımsız sabitli ortotropik model kullanılır: ana eksen yönlerindeki Young modülleri \(E_1, E_2, E_3\), ana eksenler arasındaki Poisson oranları \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) ve kayma modülleri \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) matrisinin açık biçimi için standart kaynaklara bakın.

Sonlu Deformasyon Bölgesi: St.Venant-Kirchhoff Malzemesi

Büyük dönmeler içeren ancak gerinimin kendisinin küçük olduğu problemlerde, ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{S}\) ile Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\) arasında doğrusal elastik bağıntı olarak St.Venant-Kirchhoff malzemesi kullanılır:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé sabitleri \(\lambda, \mu\) küçük deformasyon durumundakiyle aynı şekilde tanımlanır. Ancak gerilme-gerinim çifti farklı tanımlandığından bunun küçük deformasyondaki Hooke yasasından farklı bir kurucu bağıntı olduğuna dikkat edilmelidir.

Hipoelastik Malzeme

Updated Lagrange yönteminde, göreli Kirchhoff gerilme tensörünün Jaumann hızı \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ile deformasyon hızı tensörü \(\boldsymbol{D}\) arasındaki doğrusal elastik bağıntıyı

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

kullanan hipoelastik malzeme uygulanır. Burada da \(\boldsymbol{C}\)'nin Lamé sabitleriyle tanımı yukarıdakiyle aynıdır; ancak gerilme-gerinim çifti farklı olduğundan bu ayrı bir kurucu bağıntıdır. \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) gerilmesinin zaman integrasyonu prosedürüyle (ileri Euler integrasyonu ve merkezi fark yaklaşımı) nasıl güncellendiğinin ayrıntıları için tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex dosyasına bakın.

İki Boyutlu Analiz ve Kabuk Elemanları İçin İndirgeme

Düzlem Gerilme (\(\sigma_{33} = 0\))

İnce levha ve kabuk yüklemelerini temsil eden düzlem gerilmede \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) varsayılır ve düzlem dışı gerinim bileşeni \(\varepsilon_{33}\) cebirsel olarak elimine edilmiş \(D\) kullanılır:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Düzlem Gerinim (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Kalınlık yönünde kısıtlanmış uzun bir yapının kesitini temsil eden düzlem gerinimde \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) varsayılır:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Eksenel Simetri

Silindirik koordinatlarda \((r, \theta, z)\), \(\theta\) yönünde uniform problemleri ele alan eksenel simetrik analizde dört bileşen \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ve \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) korunur ve

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

elde edilir.

Kabuk Elemanları (Düzlem Gerilme + Enine Kayma)

Kabuk elemanlarında düzlem içi gerilme düzlem gerilme olarak ele alınır; ayrıca enine kayma gerinimi bileşenleri \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) için kayma düzeltme katsayısı \(\kappa\) (genellikle \(\kappa = 5/6\)) uygulanmış \(\kappa\, G\) kullanılır. Her elemanın ayrıntılı formülasyonu için Gelişmiş Eleman Formülasyonları bölümüne bakın. İşlevler bölümündeki 03_material sayfasında yer alan “kabuk elemanları yalnızca doğrusal elastisiteyi destekler” özelliği, düzlem içi durumun düzlem gerilme olarak ele alındığı bu sadeleştirmeye dayanır.

Sıcaklığa Bağımlılık

Young modülü \(E\), Poisson oranı \(\nu\) ve doğrusal genleşme katsayısı \(\alpha\) genel olarak sıcaklık \(T\)'nin fonksiyonları olarak belirtilebilir. FrontISTR'da sonlu sıcaklık noktaları dizisi \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) için değerler girilir ve hesaplama sırasındaki \(T\) sıcaklığı komşu noktalar arasında doğrusal enterpolasyonla değerlendirilir. Aralık dışındaki sıcaklıklarda (\(T < T_1\) veya \(T > T_n\)) en yakın uç nokta \(T_1\) veya \(T_n\) değeriyle ekstrapolasyon yapılır (sabit ekstrapolasyon).

Termal ve ısı iletimi özelliklerinin (yoğunluk, özgül ısı ve ısıl iletkenlik) sıcaklığa bağımlılığı için Termal Özellikler bölümüne bakın. Enterpolasyon kuralları bu özelliklerle ortaktır.

İlgili Konular