Ana içeriğe geç

Hiperelastisite

Bu bölüm, FrontISTR tarafından desteklenen hiperelastik bünye yasalarını ele alır. Model seçimi ve giriş belirtimlerinin ayrıntıları için işlevler bölümündeki 03_material kısmına bakın.

Olgu (Tersinir Büyük Deformasyon Cevabı)

TBD (bir sonraki aşamada tam metne dönüştürülecek).

Bünye Çerçevesi

İzotropik bir hiperelastik malzeme için elastik potansiyel enerji, başlangıçtaki gerilmesiz durumdan itibaren izotropik cevaptan elde edilir ve sağ Cauchy-Green deformasyon tensörü \(C\)'nin asal değişmezlerinin \((I_1, I_2, I_3)\) veya hacim değişimi çıkarılmış deformasyon tensörünün asal değişmezlerinin \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) bir fonksiyonu olarak yani \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) veya \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) biçiminde ifade edilebilir.

Hiperelastik bir malzemenin bünye denklemi, ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi ile Green-Lagrange gerinimi arasındaki ilişkiyle tanımlanır ve deformasyon analizine Total Lagrange yöntemi uygulanır.

Elastik potansiyel enerji \(W\) bilindiğinde, ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi ve gerilme-gerinim ilişkisi aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Aşağıda FrontISTR tarafından kullanılan hiperelastik modellerin elastik potansiyel enerjileri \(W\) listelenmiştir.

Neo-Hookean Hiperelastik Model

Neo-Hookean hiperelastik model, izotropik doğrusal bir yasayı (Hooke yasası) büyük deformasyon problemlerine uygulanabilecek biçimde genişletir. Elastik potansiyeli aşağıdaki gibidir.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Burada \(C_{10}\) ve \(D\) malzeme sabitleridir.

Mooney-Rivlin Hiperelastik Model

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Burada \(C_{10}\), \(C_{01}\) ve \(D\) malzeme sabitleridir.

Mooney-Rivlin Anizotropik Hiperelastik Model

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Burada \(C_{10}\), \(C_{01}\) ve \(D\) izotropik modelle ortak malzeme sabitleridir; \(C_{42}\) ve \(C_{43}\) ise anizotropiye özgü malzeme sabitleridir.

Arruda-Boyce Hiperelastik Model

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Burada \(\mu_0\), \(\lambda_m\) ve \(D\) malzeme sabitleridir.

İlgili Konular