Ana içeriğe geç

Geometrik Sınır Koşullarının İşlenmesi

Newton-Raphson Yöntemi, her yinelemede doğrusal denklem \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)'yi çözer; ancak geometrik sınır koşulları (yer değiştirme kısıtları) henüz bu denkleme dâhil edilmemiştir. Bu bölüm, yer değiştirme kısıtları \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) uygulanan serbestlik dereceleri için rijitlik matrisi \(\boldsymbol{K}\) ile artık vektörü \(\boldsymbol{R}\)'nin, yineleme sonrasındaki yer değiştirmenin öngörülen değere ulaşması için nasıl değiştirileceğini gösterir. Çok noktalı kısıtlar (MPC) ve temasa bağlı doğrusal olmayan kısıtlar ayrı olarak işlenir; Çok Noktalı Kısıtlar ve Temas bölümlerine bakın.

Yer Değiştirme Kısıtlarını Bilinmeyen Değişkenler Olarak Tutma Yaklaşımı

Geometrik bir sınır koşuluna tabi bir düğümün yer değiştirmesi artık bilinmeyen bir değişken değildir; öngörülen \(\bar{u}_i\) değerine sabitlenmiştir. Bu serbestlik dereceleri sabit kabul edilip doğrusal denklem \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)'den elenebilir; ancak FrontISTR, kısıtlı serbestlik derecelerini diğer serbestlik dereceleriyle aynı şekilde düzeltme vektörü \(d\boldsymbol{u}\) içinde tutarken \(\boldsymbol{K}\) ve \(\boldsymbol{R}\)'yi değiştirerek kısıtları uygular.

Bu yaklaşımda, kısıtların bulunup bulunmamasına bağlı olarak katsayı matrisinin boyutu ve serbestlik derecelerinin sıralaması değişmez; bu nedenle değişkenleri eleyip boşalan satır ve sütunları yeniden paketlemek gerekmez. Katsayı matrisini seyrek matris biçiminde saklayan bir uygulamada böyle bir yeniden paketleme zahmetli olduğundan, FrontISTR yalnızca katsayı matrisini ve sağ tarafı güncelleyerek kısıtları uygulayan ikinci yaklaşımı benimser.

Newton-Raphson Düzeltmeleri için Hedef Değer

Yer değiştirmesi kısıtlanmış bir serbestlik derecesi \(i\) için, Newton-Raphson yinelemesinde elde edilen düzeltme \(du_i\) şu olsun:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. yineleme}) \\ 0 & (\text{2. ve sonraki yinelemeler}) \end{cases} \]

Düzeltmenin bu değeri alması için \(\boldsymbol{K}\) ve \(\boldsymbol{R}\)'yi değiştirin. Böylece yer değiştirme artımı ilk yinelemede öngörülen \(\bar{u}_i\) değerine ulaşır; ikinci yinelemeden itibaren düzeltme \(0\) olur ve öngörülen değer korunur.

Matris ve Artık Vektörünü Değiştirme Prosedürü

Önceki bölümde açıklanan hedef değer, doğrusal denklem \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) biçimi korunarak aşağıdaki iki değişiklikle elde edilir.

  1. \(i\) satırının köşegenleştirilmesi: \(du_i\)'nin katsayısı olan köşegen terim \(K_{ii}\)'yi \(1\) ile, diğer tüm katsayıları \(K_{ij}\ (j \not= i)\) ise \(0\) ile değiştirin ve sağ tarafı \(R_i \to d\bar{u}_i\) olarak ayarlayın. Böylece \(i\) satırındaki denklem \(du_i = d\bar{u}_i\) olur.
  2. \(j(\not= i)\) satırlarından sağ tarafa aktarma: Her \(j(\not= i)\) satırı için, \(K_{ji} \not= 0\) ise \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) terimini sağ tarafa taşıyın. Başka bir deyişle, sağ taraftan \(K_{ji} d\bar{u}_i\) çıkarın ve \(du_i\)'nin katsayısı \(K_{ji}\)'yi \(0\) yapın.

Bileşen biçiminde, değişiklikten önceki ve sonraki denklemler aşağıdaki gibi karşılık gelir.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Değiştirilmiş katsayı matrisi ve sağ taraf sırasıyla \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ile gösterilsin. Son olarak çözülmesi gereken doğrusal denklem

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Birden fazla kısıtlı serbestlik derecesi varsa, yukarıdaki 1 ve 2 numaralı değişiklikler her kısıtlı serbestlik derecesi \(i\) için sırayla uygulanır.

Seyrek Matris Uygulamasında İşleme Kapsamı

Uygulamada katsayı matrisi \(\boldsymbol{K}\) seyrek matris biçiminde saklanır. Bu nedenle, önceki bölümdeki prosedür 2 kapsamında \(j(\not= i)\) satırlarının işlenmesi yalnızca \(i\) sütununda sıfır olmayan girdileri bulunan satırlar için, yani kısıtlı serbestlik derecesi \(i\)'ye elemanlar üzerinden bağlı düğümlerin serbestlik dereceleri için gerçekleştirilir. Bağlantısız serbestlik derecelerinde \(K_{ji} = 0\) olduğundan, terimin taşınması sağ tarafı değiştirmez. Bu kısıtlama, toplam düğüm sayısına göre yalnızca yerel işlemler kullanılarak kısıt işleminin tamamlanmasını sağlar.

İlgili Konular