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ज्यामितीय सीमा शर्तों का प्रबंधन

Newton-Raphson विधि प्रत्येक iteration पर linear equation \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) हल करती है, लेकिन geometric boundary conditions (displacement constraints) अभी इस equation में शामिल नहीं हैं। यह अध्याय दिखाता है कि displacement constraints \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) लागू degrees of freedom के लिए stiffness matrix \(\boldsymbol{K}\) और residual vector \(\boldsymbol{R}\) को कैसे modify किया जाए ताकि iteration के बाद displacement prescribed value तक पहुँचे। Multi-point constraints (MPCs) और contact से संबंधित nonlinear constraints अलग से संभाले जाते हैं; बहु-बिंदु बाधाएँ और संपर्क देखें।

विस्थापन बाधाओं को अज्ञात चर के रूप में बनाए रखने की नीति

geometric boundary condition के अधीन node का displacement अब unknown variable नहीं रहता, बल्कि prescribed value \(\bar{u}_i\) पर fixed होता है। इन degrees of freedom को constants मानकर linear equation \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) से eliminate किया जा सकता था; लेकिन FrontISTR constraints को \(\boldsymbol{K}\) और \(\boldsymbol{R}\) modify करके लागू करता है, जबकि constrained degrees of freedom को अन्य degrees of freedom की तरह correction vector \(d\boldsymbol{u}\) में बनाए रखता है।

इस approach में coefficient matrix की dimensions और degrees of freedom का ordering constraints की उपस्थिति से नहीं बदलता, इसलिए variables eliminate करके खाली rows और columns repack करने की आवश्यकता नहीं होती। coefficient matrix को sparse-matrix form में store करने वाली implementation में ऐसा repacking cumbersome है, इसलिए FrontISTR बाद वाला approach अपनाता है जिसमें constraints केवल coefficient matrix और right-hand side update करके लागू किए जाते हैं।

Newton-Raphson corrections का लक्ष्य मान

displacement-constrained degree of freedom \(i\) के लिए Newton-Raphson iteration में प्राप्त correction \(du_i\) को

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{पहली iteration}) \\ 0 & (\text{दूसरी और बाद की iterations}) \end{cases} \]

मानें। \(\boldsymbol{K}\) और \(\boldsymbol{R}\) को modify करें ताकि correction यही value ले। इससे पहली iteration में displacement increment prescribed value \(\bar{u}_i\) तक पहुँचता है; दूसरी iteration से correction \(0\) हो जाता है और prescribed value बनी रहती है।

मैट्रिक्स और residual vector को modify करने की procedure

पिछले अनुभाग में वर्णित target value linear equation \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) का रूप बनाए रखते हुए निम्न दो modifications से प्राप्त किया जाता है।

  1. row \(i\) का diagonalization: \(du_i\) के coefficient diagonal term \(K_{ii}\) को \(1\) से बदलें, अन्य सभी coefficients \(K_{ij}\ (j \not= i)\) को \(0\) करें और right-hand side को \(R_i \to d\bar{u}_i\) सेट करें। तब row \(i\) का equation \(du_i = d\bar{u}_i\) हो जाता है।
  2. rows \(j(\not= i)\) से transfer: प्रत्येक row \(j(\not= i)\) के लिए यदि \(K_{ji} \not= 0\) हो, तो term \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) को right-hand side पर ले जाएँ। अर्थात right-hand side से \(K_{ji} d\bar{u}_i\) घटाएँ और \(du_i\) का coefficient \(K_{ji}\) \(0\) करें।

component form में modification के पहले और बाद equations निम्न प्रकार corresponding हैं।

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

modified coefficient matrix और right-hand side को क्रमशः \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) से दर्शाएँ। अंततः हल किया जाने वाला linear equation है

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

यदि कई constrained degrees of freedom हों, तो ऊपर के modifications 1 और 2 प्रत्येक constrained degree of freedom \(i\) पर क्रमशः लागू किए जाते हैं।

Sparse-matrix implementation में processing का दायरा

implementation में coefficient matrix \(\boldsymbol{K}\) sparse-matrix form में stored है। इसलिए पिछले अनुभाग की procedure 2 में rows \(j(\not= i)\) का processing केवल उन rows के लिए किया जाता है जिनके column \(i\) में nonzero entries हों, अर्थात constrained degree of freedom \(i\) से elements के माध्यम से जुड़े nodes के degrees of freedom। unconnected degrees of freedom के लिए \(K_{ji} = 0\) होता है, इसलिए term transfer करने से right-hand side नहीं बदलता। यह restriction total nodes की संख्या के सापेक्ष केवल local operations से constraint processing पूरा करने देता है।

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