तनाव और संरक्षण नियम¶

यह अध्याय तनाव tensors की परिभाषाओं और पारस्परिक संबंधों तथा द्रव्यमान, रैखिक संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण नियमों से प्राप्त संतुलन समीकरणों और तनाव सममिति का सार प्रस्तुत करता है। तीन प्रकार के तनाव tensor (Cauchy तनाव \(\boldsymbol{\sigma}\), प्रथम Piola-Kirchhoff तनाव \(\boldsymbol{P}\) और द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव \(\boldsymbol{S}\)) reference surface और force vector के लिए चुनी गई configuration के अंतर से प्रस्तुत किए जाते हैं। configuration, motion और deformation gradient की परिभाषाओं के लिए गति, विकृति और strain तथा प्रतीकों की सूची के लिए भौतिक राशियों के प्रतीकों की सूची देखें।

Cauchy तनाव tensor¶

वर्तमान configuration के बिंदु \(\boldsymbol{x}\) पर एक सूक्ष्म सतह (क्षेत्रफल \(d\Gamma\), बाहरी इकाई normal \(\boldsymbol{n}\)) पर लगने वाले बल को \(d\boldsymbol{f}\) मानते हुए, traction vector \(\boldsymbol{t}\) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) से परिभाषित किया जाता है। \(\boldsymbol{t}\) स्थान \(\boldsymbol{x}\) और normal \(\boldsymbol{n}\) दोनों पर निर्भर करता है। सूक्ष्म tetrahedron पर संवेग संरक्षण लागू करने से \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) के प्रति रैखिक होता है और एक द्वितीय-क्रम tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) अस्तित्व में आता है ताकि

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

यह संबंध किसी भी \(\boldsymbol{n}\) के लिए सत्य है (Cauchy का stress theorem)। इस tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) को Cauchy तनाव tensor कहा जाता है और वर्तमान configuration की ज्यामिति के आधार पर प्रति इकाई क्षेत्रफल बल होने के अर्थ में इसे true stress भी कहते हैं। घटक \(\sigma_{ij}\) वर्तमान configuration में निर्देशांक अक्ष \(x_j\) के लंबवत सूक्ष्म सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल का \(x_i\) घटक दर्शाता है।

नीचे वर्णित कोणीय संवेग संरक्षण के कारण Cauchy तनाव एक सममित tensor है

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

और तीन आयामों में इसके 6 स्वतंत्र घटक (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) होते हैं। Voigt notation में stress-vector निरूपण इसी सममिति पर आधारित है (tensor notation और गणितीय आधार देखें)। Cauchy तनाव का उपयोग FrontISTR की Updated Lagrange विधि वाले geometrically nonlinear विश्लेषण तथा infinitesimal-deformation विश्लेषण के stress output में किया जाता है।

प्रथम और द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव¶

finite deformation में reference configuration को reference surface और reference vector के रूप में लेकर तनाव व्यक्त करना कई बार सुविधाजनक होता है, इसलिए दो प्रकार के Piola-Kirchhoff stress tensors प्रस्तुत किए जाते हैं। reference configuration की सूक्ष्म सतह का क्षेत्रफल \(d\Gamma_0\) और बाहरी इकाई normal \(\boldsymbol{N}\) मानें।

प्रथम Piola-Kirchhoff तनाव (प्रथम PK तनाव, nominal stress) \(\boldsymbol{P}\) को उस stress tensor के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वर्तमान configuration के बल \(d\boldsymbol{f}\) को reference configuration की सूक्ष्म सतह पर लागू करने पर प्राप्त होता है:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

इस प्रकार परिभाषित होता है। Nanson सूत्र \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) और Cauchy stress theorem से Cauchy तनाव के साथ संबंध

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

प्राप्त होता है। प्रथम PK तनाव सामान्यतः असममित tensor होता है।

द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव (द्वितीय PK तनाव) \(\boldsymbol{S}\) को उस stress tensor के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वर्तमान configuration के बल \(d\boldsymbol{f}\) को \(\boldsymbol{F}^{-1}\) द्वारा reference configuration में pull back करने और फिर reference configuration की सूक्ष्म सतह पर लागू करने से प्राप्त होता है:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

इस प्रकार परिभाषित होता है। force vector और acting surface दोनों reference configuration की राशियों में व्यक्त होते हैं; यह rigid-body rotation के प्रति invariant और सममित tensor है। प्रथम PK तनाव से संबंध और Cauchy तनाव में रूपांतरण समीकरण हैं

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

। द्वितीय PK तनाव hyperelastic strain-energy function \(W(\boldsymbol{C})\) से \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) के रूप में प्राप्त होता है और Total Lagrange विधि में Green-Lagrange strain \(\boldsymbol{E}\) के साथ stress-conjugate pair \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) के रूप में प्रयुक्त होता है।

reference configuration और सममिति निम्न तालिका में दी गई हैं। infinitesimal-deformation सीमा (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) में तीनों stress समान हो जाते हैं।

stress tensor	reference surface	force vector	सममिति	उपयोग
Cauchy तनाव \(\boldsymbol{\sigma}\)	वर्तमान configuration \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	वर्तमान configuration \(d\boldsymbol{f}\)	सममित	Updated Lagrange विधि / infinitesimal-deformation विश्लेषण
प्रथम PK तनाव \(\boldsymbol{P}\)	reference configuration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	वर्तमान configuration \(d\boldsymbol{f}\)	सामान्यतः असममित	reference configuration में संतुलन समीकरण
द्वितीय PK तनाव \(\boldsymbol{S}\)	reference configuration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	reference configuration \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	सममित	Total Lagrange विधि / hyperelasticity

द्रव्यमान और संवेग संरक्षण तथा संतुलन समीकरण¶

वर्तमान configuration का द्रव्यमान घनत्व \(\rho\) और reference configuration का द्रव्यमान घनत्व \(\rho_0\) मानने पर, द्रव्यमान संरक्षण नियम \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) आयतन अवयव के रूपांतरण \(dv = J\, dV\) से स्थानीय रूप

\[ \rho_0 = J \rho \]

में परिवर्तित होता है।

body force (प्रति इकाई द्रव्यमान) को \(\boldsymbol{g}\) और acceleration को \(\boldsymbol{a}\) मानकर, संवेग संरक्षण नियम (Euler का प्रथम motion law) पर Cauchy stress theorem और Gauss divergence theorem लागू करने से वर्तमान configuration में स्थानीय संतुलन समीकरण (equation of motion)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

प्राप्त होता है। Nanson सूत्र और \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) का उपयोग करके reference configuration के समाकल में लिखने पर reference configuration का स्थानीय रूप

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

प्राप्त होता है। दोनों रूप stress transformation law और \(\rho_0 = J\rho\) द्वारा समतुल्य हैं। inertia term को हटाने पर

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

स्थैतिक संतुलन समीकरण प्राप्त होता है, जो FrontISTR के स्थैतिक विश्लेषण (रैखिक और गैर-रैखिक) का प्रारंभिक समीकरण है।

कोणीय संवेग संरक्षण और तनाव सममिति¶

कोणीय संवेग संरक्षण नियम (Euler का द्वितीय motion law) को संवेग संरक्षण से प्राप्त संतुलन समीकरण के साथ संयोजित करने पर Cauchy stress tensor की सममिति

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

प्राप्त होती है और तीन आयामों में इसके 6 स्वतंत्र घटक होते हैं। रूपांतरण \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) के दोनों पक्षों का transpose लेने और \(\boldsymbol{F}\) की regularity से द्वितीय PK तनाव भी सममित है

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

और उसके भी 6 स्वतंत्र घटक होते हैं। दूसरी ओर प्रथम PK तनाव \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) सामान्यतः सममित नहीं होता; केवल संबंध \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (अर्थात \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) सममित है) सत्य होता है और इसके 9 स्वतंत्र घटक होते हैं।

ये सममितियाँ Voigt notation में तनाव को 6-घटक vector के रूप में लिखने की पूर्वधारणा हैं। Voigt notation की conventions और material matrix की संरचना के लिए tensor notation और गणितीय आधार तथा रैखिक प्रत्यास्थता देखें।