Contraintes et lois de conservation¶
Ce chapitre présente les définitions et les relations entre les tenseurs de contrainte, ainsi que les équations d’équilibre et la symétrie des contraintes déduites de la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et du moment cinétique. Les trois tenseurs de contrainte — contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), premier tenseur de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) et second tenseur de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) — sont introduits selon la configuration utilisée pour la surface de référence et le vecteur force. Voir Mouvement, déformation et déformation unitaire pour les définitions de configuration, de mouvement et de gradient de déformation, et Liste des symboles des grandeurs physiques pour la liste des symboles.
Tenseur des contraintes de Cauchy¶
Soit \(d\boldsymbol{f}\) la force agissant sur une surface infinitésimale \(d\Gamma\) au point \(\boldsymbol{x}\) de la configuration actuelle (normale unitaire extérieure \(\boldsymbol{n}\)), et définissons le vecteur de traction \(\boldsymbol{t}\) comme la force par unité de surface, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) dépend à la fois de la position \(\boldsymbol{x}\) et de la normale \(\boldsymbol{n}\). L’application de la conservation de la quantité de mouvement à un tétraèdre infinitésimal montre que \(\boldsymbol{t}\) est linéaire en \(\boldsymbol{n}\) ; il existe donc un tenseur d’ordre deux \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tel que
pour toute \(\boldsymbol{n}\) (théorème des contraintes de Cauchy). Ce tenseur \(\boldsymbol{\sigma}\) est appelé tenseur des contraintes de Cauchy et également contrainte vraie, car il représente la force par unité de surface mesurée par rapport à la géométrie de la configuration actuelle. La composante \(\sigma_{ij}\) représente la composante selon \(x_i\) de la force par unité de surface agissant sur une surface infinitésimale normale à l’axe de coordonnées \(x_j\) dans la configuration actuelle.
Comme montré plus loin à partir de la conservation du moment cinétique, la contrainte de Cauchy est un tenseur symétrique :
En trois dimensions, il possède donc six composantes indépendantes (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). La vectorisation des contraintes en notation de Voigt suppose cette symétrie (voir Notation tensorielle et fondements mathématiques). La contrainte de Cauchy est utilisée pour la sortie des contraintes dans les analyses géométriquement non linéaires de FrontISTR avec la méthode de Lagrange actualisée, ainsi que dans les analyses en petites déformations.
Premier et second tenseurs de Piola-Kirchhoff¶
Pour les déformations finies, il est souvent commode d’exprimer les contraintes par rapport aux surfaces et vecteurs de la configuration de référence ; deux tenseurs de contrainte de Piola-Kirchhoff sont donc introduits. Soit \(d\Gamma_0\) l’aire d’une surface infinitésimale dans la configuration de référence et \(\boldsymbol{N}\) sa normale unitaire extérieure.
Le premier tenseur de Piola-Kirchhoff (première contrainte PK, contrainte nominale) \(\boldsymbol{P}\) est défini comme le tenseur de contrainte obtenu lorsque la force \(d\boldsymbol{f}\) de la configuration actuelle est appliquée à une surface infinitésimale de la configuration de référence :
En utilisant la formule de Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) avec le théorème des contraintes de Cauchy, on obtient la relation avec la contrainte de Cauchy
La première contrainte PK est généralement non symétrique.
Le second tenseur de Piola-Kirchhoff (seconde contrainte PK) \(\boldsymbol{S}\) est défini comme le tenseur de contrainte obtenu en ramenant la force \(d\boldsymbol{f}\) de la configuration actuelle vers la configuration de référence au moyen de \(\boldsymbol{F}^{-1}\) et en l’appliquant à une surface infinitésimale de la configuration de référence :
Le vecteur force et la surface sur laquelle il agit sont tous deux exprimés avec des grandeurs de la configuration de référence, ce qui le rend invariant par rotation rigide et symétrique. Sa relation avec la première contrainte PK et la transformation depuis la contrainte de Cauchy sont
La seconde contrainte PK est dérivée d’une fonction d’énergie de déformation hyperélastique \(W(\boldsymbol{C})\) sous la forme \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) et, dans la méthode de Lagrange totale, elle forme avec la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) la paire conjuguée en travail \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Les configurations de référence et les propriétés de symétrie sont résumées ci-dessous. Dans la limite des petites déformations (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), les trois contraintes coïncident.
| Tenseur de contrainte | Surface de référence | Vecteur force | Symétrie | Application |
|---|---|---|---|---|
| Contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) | Configuration actuelle \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Configuration actuelle \(d\boldsymbol{f}\) | Symétrique | Méthode de Lagrange actualisée / analyse en petites déformations |
| Première contrainte PK \(\boldsymbol{P}\) | Configuration de référence \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuration actuelle \(d\boldsymbol{f}\) | Généralement non symétrique | Équations d’équilibre dans la configuration de référence |
| Seconde contrainte PK \(\boldsymbol{S}\) | Configuration de référence \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuration de référence \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Symétrique | Méthode de Lagrange totale / hyperélasticité |
Conservation de la masse et de la quantité de mouvement, et équations d’équilibre¶
Soit \(\rho\) la masse volumique dans la configuration actuelle et \(\rho_0\) la masse volumique dans la configuration de référence. La loi de conservation de la masse \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), avec la transformation de l’élément de volume \(dv = J\, dV\), se réduit à la forme locale
Il s’agit de la relation locale de conservation de la masse.
Soit \(\boldsymbol{g}\) la force volumique par unité de masse et \(\boldsymbol{a}\) l’accélération. L’application du théorème des contraintes de Cauchy et du théorème de la divergence de Gauss à la conservation de la quantité de mouvement (première loi d’Euler) donne l’équation d’équilibre (équation du mouvement) locale dans la configuration actuelle :
En réécrivant l’intégrale dans la configuration de référence au moyen de la formule de Nanson et de \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), on obtient la forme locale dans la configuration de référence :
Les deux formes sont équivalentes par la règle de transformation des contraintes et \(\rho_0 = J\rho\). En négligeant le terme d’inertie, on obtient
qui est l’équation d’équilibre statique et constitue le point de départ des analyses statiques de FrontISTR (linéaires et non linéaires).
Conservation du moment cinétique et symétrie des contraintes¶
La combinaison de la conservation du moment cinétique (deuxième loi d’Euler) avec l’équation d’équilibre issue de la conservation de la quantité de mouvement conduit à la symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy :
Il possède donc six composantes indépendantes en trois dimensions. En transposant les deux membres de la transformation \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) et en utilisant la non-singularité de \(\boldsymbol{F}\), on montre que la seconde contrainte PK est également symétrique :
et possède donc elle aussi six composantes indépendantes. En revanche, la première contrainte PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) n’est généralement pas symétrique ; seule la relation \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) est vérifiée (c’est-à-dire que \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) est symétrique), et elle possède neuf composantes indépendantes.
Ces symétries constituent la base de l’expression des contraintes sous forme d’un vecteur à six composantes en notation de Voigt. Voir Notation tensorielle et fondements mathématiques et Élasticité linéaire pour les conventions de notation de Voigt et la construction des matrices de matériau.