Spannung und Erhaltungssätze¶
In diesem Kapitel werden die Definitionen und gegenseitigen Beziehungen der Spannungstensoren sowie die aus den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Drehimpuls abgeleiteten Gleichgewichtsbedingungen und Spannungssymmetrien zusammengefasst. Die drei Spannungstensoren — Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\), erster Piola-Kirchhoff-Spannungstensor \(\boldsymbol{P}\) und zweiter Piola-Kirchhoff-Spannungstensor \(\boldsymbol{S}\) — werden danach unterschieden, welche Konfiguration für Bezugsfläche und Kraftvektor verwendet wird. Zu Definitionen von Konfiguration, Bewegung und Deformationsgradient siehe Bewegung, Verformung und Verzerrung, zur Symbolübersicht Liste der Symbole physikalischer Größen.
Cauchy-Spannungstensor¶
Auf eine infinitesimale Fläche am Punkt \(\boldsymbol{x}\) der aktuellen Konfiguration mit Fläche \(d\Gamma\) und äußerem Einheitsnormalenvektor \(\boldsymbol{n}\) wirke die Kraft \(d\boldsymbol{f}\). Der Spannungsvektor \(\boldsymbol{t}\) wird als Kraft pro Flächeneinheit durch \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) definiert. \(\boldsymbol{t}\) hängt sowohl von der Position \(\boldsymbol{x}\) als auch von der Normalen \(\boldsymbol{n}\) ab. Aus der Anwendung der Impulserhaltung auf ein infinitesimales Tetraeder folgt, dass \(\boldsymbol{t}\) linear von \(\boldsymbol{n}\) abhängt. Daher existiert ein Tensor zweiter Stufe \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), sodass
für jedes \(\boldsymbol{n}\) gilt (Cauchys Spannungssatz). Dieser Tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) heißt Cauchy-Spannungstensor und wird auch als wahre Spannung bezeichnet, da er die Kraft pro Flächeneinheit bezogen auf die Geometrie der aktuellen Konfiguration darstellt. Die Komponente \(\sigma_{ij}\) bezeichnet die \(x_i\)-Komponente der Kraft pro Flächeneinheit, die auf eine infinitesimale Fläche senkrecht zur Koordinatenachse \(x_j\) in der aktuellen Konfiguration wirkt.
Wie später aus der Drehimpulserhaltung folgt, ist die Cauchy-Spannung ein symmetrischer Tensor:
Daher besitzt sie in drei Dimensionen sechs unabhängige Komponenten (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Die Vektorisierung der Spannung in Voigt-Notation setzt diese Symmetrie voraus (siehe Tensornotation und mathematische Grundlagen). Die Cauchy-Spannung wird in FrontISTR für die Spannungsausgabe bei geometrisch nichtlinearen Analysen mit der Updated-Lagrange-Methode sowie bei Analysen kleiner Verformungen verwendet.
Erster und zweiter Piola-Kirchhoff-Spannungstensor¶
Bei endlichen Verformungen ist es häufig zweckmäßig, Spannungen auf Flächen und Vektoren der Referenzkonfiguration zu beziehen. Daher werden zwei Piola-Kirchhoff-Spannungstensoren eingeführt. Die Fläche einer infinitesimalen Fläche in der Referenzkonfiguration sei \(d\Gamma_0\), ihr äußerer Einheitsnormalenvektor sei \(\boldsymbol{N}\).
Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor (erste PK-Spannung, Nennspannung) \(\boldsymbol{P}\) wird als Spannungstensor definiert, der entsteht, wenn die Kraft \(d\boldsymbol{f}\) der aktuellen Konfiguration auf eine infinitesimale Fläche der Referenzkonfiguration bezogen wird:
Aus der Nanson-Formel \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) und Cauchys Spannungssatz folgt die Beziehung zur Cauchy-Spannung:
Die erste PK-Spannung ist im Allgemeinen nicht symmetrisch.
Der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor (zweite PK-Spannung) \(\boldsymbol{S}\) wird als Spannungstensor definiert, der entsteht, wenn die Kraft \(d\boldsymbol{f}\) der aktuellen Konfiguration mit \(\boldsymbol{F}^{-1}\) in die Referenzkonfiguration zurückgezogen und auf eine infinitesimale Fläche der Referenzkonfiguration bezogen wird:
Sowohl der Kraftvektor als auch die Wirkfläche werden durch Größen der Referenzkonfiguration beschrieben; dadurch ist dieser Tensor gegenüber Starrkörperrotationen invariant und symmetrisch. Die Beziehung zur ersten PK-Spannung sowie die Transformation von der Cauchy-Spannung lauten
Der zweite PK-Spannungstensor wird aus einer hyperelastischen Verzerrungsenergiefunktion \(W(\boldsymbol{C})\) als \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) abgeleitet und bildet in der Total-Lagrange-Methode mit der Green-Lagrange-Verzerrung \(\boldsymbol{E}\) das arbeitskonjugierte Paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Die Bezugskonfigurationen und Symmetrieeigenschaften sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Im Grenzfall kleiner Verformungen (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) stimmen die drei Spannungen überein.
| Spannungstensor | Bezugsfläche | Kraftvektor | Symmetrie | Anwendung |
|---|---|---|---|---|
| Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\) | Aktuelle Konfiguration \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Aktuelle Konfiguration \(d\boldsymbol{f}\) | Symmetrisch | Updated-Lagrange-Methode / Analyse kleiner Verformungen |
| Erste PK-Spannung \(\boldsymbol{P}\) | Referenzkonfiguration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Aktuelle Konfiguration \(d\boldsymbol{f}\) | Im Allgemeinen nicht symmetrisch | Gleichgewichtsbedingungen in der Referenzkonfiguration |
| Zweite PK-Spannung \(\boldsymbol{S}\) | Referenzkonfiguration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Referenzkonfiguration \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Symmetrisch | Total-Lagrange-Methode / Hyperelastizität |
Erhaltung von Masse und Impuls und die Gleichgewichtsbedingungen¶
Sei \(\rho\) die Massendichte in der aktuellen Konfiguration und \(\rho_0\) die Massendichte in der Referenzkonfiguration. Der Massenerhaltungssatz \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) geht mit der Transformation des Volumenelements \(dv = J\, dV\) in die lokale Form
über.
Sei \(\boldsymbol{g}\) die Körperkraft pro Masseneinheit und \(\boldsymbol{a}\) die Beschleunigung. Durch Anwendung von Cauchys Spannungssatz und des gaußschen Integralsatzes auf die Impulserhaltung (erstes Eulersches Bewegungsgesetz) erhält man in der aktuellen Konfiguration die lokale Gleichgewichtsbedingung (Bewegungsgleichung)
Durch Umschreiben des Integrals in die Referenzkonfiguration mithilfe der Nanson-Formel und \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) erhält man dort die lokale Form
Beide Formen sind über die Spannungstransformation und \(\rho_0 = J\rho\) äquivalent. Wird der Trägheitsterm vernachlässigt, ergibt sich
als statische Gleichgewichtsbedingung und damit als Ausgangsgleichung der statischen Analysen von FrontISTR (linear und nichtlinear).
Drehimpulserhaltung und Spannungssymmetrie¶
Aus der Kombination der Drehimpulserhaltung (zweites Eulersches Bewegungsgesetz) mit der aus der Impulserhaltung erhaltenen Gleichgewichtsbedingung folgt die Symmetrie des Cauchy-Spannungstensors:
Damit besitzt er in drei Dimensionen sechs unabhängige Komponenten. Durch Transponieren beider Seiten der Transformation \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) und unter Verwendung der Regularität von \(\boldsymbol{F}\) folgt, dass auch die zweite PK-Spannung symmetrisch ist:
und somit ebenfalls sechs unabhängige Komponenten besitzt. Im Gegensatz dazu ist die erste PK-Spannung \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) im Allgemeinen nicht symmetrisch; es gilt lediglich die Beziehung \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (d. h. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ist symmetrisch), und sie besitzt neun unabhängige Komponenten.
Diese Symmetrien bilden die Grundlage dafür, Spannungen in Voigt-Notation als Vektor mit sechs Komponenten darzustellen. Zu den Konventionen der Voigt-Notation und zur Konstruktion der Materialmatrizen siehe Tensornotation und mathematische Grundlagen sowie Lineare Elastizität.