الإجهاد وقوانين الحفظ¶

ينظم هذا الفصل تعريفات موترات الإجهاد والعلاقات المتبادلة بينها، وكذلك معادلات الاتزان وتماثل الإجهاد المشتقة من قوانين حفظ الكتلة وكمية الحركة الخطية وكمية الحركة الزاوية. تُقدَّم موترات الإجهاد الثلاثة—إجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)، وإجهاد Piola-Kirchhoff الأول \(\boldsymbol{P}\)، وإجهاد Piola-Kirchhoff الثاني \(\boldsymbol{S}\)—بحسب التهيئة المستخدمة للسطح المرجعي ومتجه القوة. راجع الحركة والتشوه والانفعال لتعريفات التهيئة والحركة وتدرج التشوه، وقائمة رموز الكميات الفيزيائية لقائمة الرموز.

موتر إجهاد Cauchy¶

لتكن \(d\boldsymbol{f}\) القوة المؤثرة على سطح متناهي الصغر عند نقطة \(\boldsymbol{x}\) في التهيئة الحالية (مساحته \(d\Gamma\) ومتجه العمودي الوحدي الخارجي \(\boldsymbol{n}\))، ولنعرّف متجه الشد \(\boldsymbol{t}\) بوصفه القوة لكل وحدة مساحة وفق \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). يعتمد \(\boldsymbol{t}\) على كل من الموضع \(\boldsymbol{x}\) والعمودي \(\boldsymbol{n}\). يبيّن تطبيق حفظ كمية الحركة على رباعي سطوح متناهي الصغر أن \(\boldsymbol{t}\) خطي بالنسبة إلى \(\boldsymbol{n}\)، ومن ثم يوجد موتر من الرتبة الثانية \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) بحيث

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

وذلك لأي \(\boldsymbol{n}\) (مبرهنة Cauchy للإجهاد). يسمى هذا الموتر \(\boldsymbol{\sigma}\) موتر إجهاد Cauchy، ويسمى أيضًا الإجهاد الحقيقي لأنه يمثل القوة لكل وحدة مساحة مقاسة بالنسبة إلى هندسة التهيئة الحالية. يمثل المركّب \(\sigma_{ij}\) مركبة القوة لكل وحدة مساحة في اتجاه \(x_i\) المؤثرة على سطح متناهي الصغر عمودي على محور الإحداثيات \(x_j\) في التهيئة الحالية.

كما سيظهر لاحقًا من حفظ كمية الحركة الزاوية، فإن إجهاد Cauchy موتر متماثل:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ولذلك له في ثلاثة أبعاد ست مركبات مستقلة (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). يفترض تمثيل الإجهاد بطريقة Voigt هذا التماثل (راجع ترميز الموتر والأسس الرياضية). يُستخدم إجهاد Cauchy في خرج الإجهاد لتحليل FrontISTR غير الخطي هندسيًا بطريقة Updated Lagrange وفي تحليل التشوهات الصغيرة.

إجهادا Piola-Kirchhoff الأول والثاني¶

في التشوه المحدود يكون من الملائم غالبًا التعبير عن الإجهاد بالرجوع إلى الأسطح والمتجهات في التهيئة المرجعية، ولذلك يُقدَّم نوعان من موترات إجهاد Piola-Kirchhoff. لتكن مساحة سطح متناهي الصغر في التهيئة المرجعية \(d\Gamma_0\) ومتجه العمودي الوحدي الخارجي له \(\boldsymbol{N}\).

يُعرَّف إجهاد Piola-Kirchhoff الأول (إجهاد PK الأول، الإجهاد الاسمي) \(\boldsymbol{P}\) بوصفه موتر الإجهاد الناتج عند تطبيق القوة \(d\boldsymbol{f}\) في التهيئة الحالية على سطح متناهي الصغر في التهيئة المرجعية:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

وباستخدام صيغة Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) مع مبرهنة Cauchy للإجهاد نحصل على العلاقة مع إجهاد Cauchy:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

يكون إجهاد PK الأول عمومًا غير متماثل.

يُعرَّف إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني (إجهاد PK الثاني) \(\boldsymbol{S}\) بوصفه موتر الإجهاد الناتج بسحب القوة \(d\boldsymbol{f}\) في التهيئة الحالية إلى التهيئة المرجعية بواسطة \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ثم تطبيقها على سطح متناهي الصغر في التهيئة المرجعية:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

يُعبَّر عن كل من متجه القوة والسطح الذي تؤثر عليه بكميات التهيئة المرجعية، ولذلك يكون الموتر ثابتًا تحت دوران الجسم الصلب ومتماثلًا. علاقته بإجهاد PK الأول وتحويله من إجهاد Cauchy هما:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

يُشتق إجهاد PK الثاني من دالة طاقة الانفعال للمرونة الفائقة \(W(\boldsymbol{C})\) وفق \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\)، ويُستخدم في طريقة Total Lagrange مع انفعال Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) بوصفهما الزوج المترافق في الشغل \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

يلخص الجدول التالي التهيئات المرجعية وخصائص التماثل. في حد التشوه الصغير (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)، \(J \to 1\)) تتطابق أنواع الإجهاد الثلاثة.

موتر الإجهاد	السطح المرجعي	متجه القوة	التماثل	الاستخدام
إجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	التهيئة الحالية \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	التهيئة الحالية \(d\boldsymbol{f}\)	متماثل	طريقة Updated Lagrange / تحليل التشوهات الصغيرة
إجهاد PK الأول \(\boldsymbol{P}\)	التهيئة المرجعية \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	التهيئة الحالية \(d\boldsymbol{f}\)	غير متماثل عمومًا	معادلات الاتزان في التهيئة المرجعية
إجهاد PK الثاني \(\boldsymbol{S}\)	التهيئة المرجعية \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	التهيئة المرجعية \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	متماثل	طريقة Total Lagrange / المرونة الفائقة

حفظ الكتلة وكمية الحركة ومعادلات الاتزان¶

لتكن \(\rho\) كثافة الكتلة في التهيئة الحالية و\(\rho_0\) كثافة الكتلة في التهيئة المرجعية. يؤدي قانون حفظ الكتلة \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\)، مع تحويل عنصر الحجم \(dv = J\, dV\)، إلى الصورة المحلية

\[ \rho_0 = J \rho \]

وهذه هي علاقة حفظ الكتلة المحلية.

لتكن \(\boldsymbol{g}\) قوة الجسم لكل وحدة كتلة و\(\boldsymbol{a}\) التسارع. بتطبيق مبرهنة Cauchy للإجهاد ومبرهنة Gauss للتباعد على حفظ كمية الحركة الخطية (قانون Euler الأول للحركة) نحصل على معادلة الاتزان (معادلة الحركة) المحلية في التهيئة الحالية:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

وبإعادة كتابة التكامل في التهيئة المرجعية باستخدام صيغة Nanson و\(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) نحصل على الصورة المحلية في التهيئة المرجعية:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

الصيغتان متكافئتان عبر قاعدة تحويل الإجهاد والعلاقة \(\rho_0 = J\rho\). وبإهمال حد القصور الذاتي نحصل على

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

وهي معادلة الاتزان الساكن وتشكل نقطة الانطلاق لتحليل FrontISTR الساكن (الخطي وغير الخطي).

حفظ كمية الحركة الزاوية وتماثل الإجهاد¶

إن الجمع بين حفظ كمية الحركة الزاوية (قانون Euler الثاني للحركة) ومعادلة الاتزان الناتجة من حفظ كمية الحركة الخطية يؤدي إلى تماثل موتر إجهاد Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

وبذلك يتكون من ست مركبات مستقلة في ثلاثة أبعاد. وبأخذ منقول طرفي التحويل \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) واستخدام عدم تفرد \(\boldsymbol{F}\) يتضح أن إجهاد PK الثاني متماثل أيضًا:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ولذلك يتكون هو الآخر من ست مركبات مستقلة. أما إجهاد PK الأول \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) فليس متماثلًا عمومًا؛ ولا تتحقق إلا العلاقة \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (أي إن \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) متماثل)، وله تسع مركبات مستقلة.

تشكل هذه التماثلات أساس تمثيل الإجهاد كمتجه ذي ست مركبات بترميز Voigt. راجع ترميز الموتر والأسس الرياضية والمرونة الخطية لاتفاقيات ترميز Voigt وبناء مصفوفات المادة.