انتقل إلى المحتوى

التكرار اللاخطي والتكامل الزمني

يُقدّم FrontISTR الحل بدمج التكرارات اللاخطية والتكامل الزمني عند كل خطوة فرعية ضمن التحكم في الزيادات لكل خطوة. تصف هذه الصفحة البنى التكرارية الواقعة بين التحكم الخارجي في الخطوات والمحلّل الخطي الداخلي: تكرارات Newton-Raphson، وتكرارات التلامس، والتكامل الزمني للتحليل الديناميكي، وإطار تقدم الزمن والتكرار اللاخطي في التوصيل الحراري غير المستقر.

نظرة عامة

يمتلك الحل اللاخطي والتكامل الزمني داخل الخطوة بنيةً متداخلة تتكون من عدة حلقات من الخارج إلى الداخل. لكل طبقة الدور التالي.

الطبقة الدور صفحة المرجع الرئيسية
حلقة الخطوات تقسّم التحليل بالكامل إلى عدة خطوات وتبدّل شروط الحدود والأحمال والتلامس وتفعيل العناصر. التحكم في الخطوات
حلقة الخطوات الفرعية تقسّم الخطوة الواحدة إلى زيادات زمنية وتتقدم باستخدام زيادات ثابتة أو زيادات تلقائية وcutback. التحكم في الخطوات
تقدم حالة التكامل الزمني في التحليل الديناميكي والتوصيل الحراري غير المستقر، تستخرج الحالة في الزمن التالي من حالة الخطوة السابقة. هذه الصفحة
حلقة البحث عن حالة التلامس في تحليل التلامس، تبحث عن تغيرات حالة التلامس (تلامس/انفصال) وتحدّث بنية مصفوفة الصلابة. هذه الصفحة
التكرار الخارجي لـ Lagrange المعزّز مع تلامس ALAGRANGE، يحسّن دقة قيد التلامس تدريجياً. هذه الصفحة
تكرار Newton يحل معادلات الاتزان اللاخطية تكرارياً بطريقة Newton-Raphson. هذه الصفحة
حل النظام الخطي يحل النظام الخطي المبني على مصفوفة الصلابة المماسية عند كل تكرار Newton. المحلّل والتهيئة المسبقة

تختلف الطبقات التي تظهر باختلاف نوع التحليل.

نوع التحليل التكامل الزمني البحث عن حالة التلامس التكرار الخارجي تكرار Newton
التحليل الساكن الخطي — — — —
التحليل الساكن اللاخطي (دون تلامس) — — — نعم
التحليل الساكن اللاخطي (تلامس SLAGRANGE) — نعم — نعم
التحليل الساكن اللاخطي (تلامس ALAGRANGE) — نعم نعم نعم
التحليل الديناميكي، ضمني Newmark-β — — نعم (عند اللاخطية)
التحليل الديناميكي، صريح الفروق المركزية — — —
تحليل الاستجابة الترددية تراكب الأنماط — — —
التوصيل الحراري غير المستقر Crank-Nicolson / Backward Euler — — نعم (عندما تعتمد خواص المادة على درجة الحرارة)
التوصيل الحراري المستقر — — — نعم (عندما تعتمد خواص المادة على درجة الحرارة)

لمعرفة كيفية اختيار نوع التلامس والخوارزمية نفسيهما، راجع التلامس والتضمين. تصف هذه الصفحة كيفية تنظيم الخوارزمية المختارة في صورة حلقة تكرارية.

اختيار مخطط الحل

تُحدد البنية التكرارية تلقائياً من نوع التحليل المختار (أنواع التحليل)، ووجود اللاخطية أو عدمها (لاخطية هندسية أو لاخطية مادية أو تلامس)، وخوارزمية التلامس (SLAGRANGE أو ALAGRANGE). يضبط المستخدم مباشرة الحدود العليا لأعداد التكرارات ومعايير التقارب.

تنطبق الإرشادات التالية عند ضبط هذه الإعدادات.

  • في التحليلات القياسية، يكون الحد الأعلى الافتراضي لعدد التكرارات كافياً عموماً. إذا بلغت مسألة صعبة التقارب الحد الأقصى لعدد التكرارات دون تقارب، فاستخدم أولاً cutback (التحكم في الخطوات)؛ ولا تزد الحد الأعلى إلا إذا لم يحسن ذلك التقارب.
  • اضبط معايير التقارب لتحقيق توازن بين استقرار التحليل وزمن الحساب. تحسن المعايير الأكثر صرامة دقة الاتزان لكنها تزيد عدد التكرارات. في تحليلات التلامس والتحليلات التي تتضمن مضاعفات Lagrange، يمكن أن يحسن الجمع بين معيار زيادة الإزاحة أو معيار Lagrange ومعيار المتبقي الاستقرار.
  • بالنسبة لمعاملات التكامل الزمني في التحليل الديناميكي (معاملات Newmark-β)، ابدأ بتركيبة قياسية من القيم واضبطها عند تغيير خصائص التخميد العددي لاستجابة الاهتزاز.
  • بالنسبة لمخطط التكامل الزمني في التوصيل الحراري غير المستقر، استخدم Crank-Nicolson للمسائل ذات التغيرات السلسة في درجة الحرارة، وBackward Euler عندما تكون التغيرات الحادة أو الاستقرار طويل الأمد أكثر أهمية.

تكرار Newton-Raphson في التحليل الساكن

في التحليل الساكن اللاخطي، تُحل معادلات الاتزان التي تتضمن لاخطية هندسية أو مادية تكرارياً بطريقة Newton-Raphson. يسير كل تكرار كما يلي.

  1. قيّم متجه المتبقي \(\boldsymbol{R}\) عند الحل الحالي.
  2. جمّع مصفوفة الصلابة المماسية \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. حل النظام الخطي \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) للحصول على تصحيح الإزاحة \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. حدّث الحل وفق \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. قارِن بمعايير التقارب. إذا تحقق التقارب، أنهِ التكرار؛ وإلا فعد إلى الخطوة 1.

ينفذ المحلّل الخطي حل النظام الخطي (الخطوة 3). لاختيار المحلّل والمهيئ المسبق، راجع المحلّل والتهيئة المسبقة.

يُتحكم في التكرار باستخدام معاملات التحكم في الخطوات الخاصة بـ !STEP. قيم التحكم الرئيسية كما يلي.

الدور المعامل
الحد الأعلى لعدد التكرارات. إذا تم بلوغه دون تقارب، تخضع الخطوة الفرعية لـ cutback. MAXITER
معيار تقارب يعتمد على المعيار النسبي لمتجه المتبقي. CONVERG
معيار تقارب يعتمد على نسبة معيار تصحيح الإزاحة. يُستخدم مع معيار المتبقي لتحسين الاستقرار. CONVERG_DDISP
معيار تباعد لمعيار المتبقي. يُنهى التكرار عند تجاوز هذه القيمة. MAXRES

يعني العدد الأقصى لتكرارات Newton المشار إليه في قرارات الزيادة التلقائية وcutback في التحكم في الخطوات عدد تكرارات Newton الموصوفة في هذه الصفحة. يزيد التحكم التلقائي في الزيادة مقدار الزيادة الزمنية بعد خطوة فرعية تقاربت بعدد قليل من التكرارات، ويقلله بعد خطوة فرعية احتاجت إلى عدد كبير من التكرارات.

تكرار التلامس في التحليل الساكن

في تحليل التلامس، تتغير حالة التلامس أثناء التكرار بسبب التلامس والانفصال والانزلاق على أسطح التلامس، لذلك يُدمج تكرار Newton مع تحديثات حالة التلامس. وتعتمد البنية على خوارزمية حل التلامس.

تضع كلتا الخوارزميتين حلقة البحث عن حالة التلامس في المستوى الأبعد. في كل مرور عبر هذه الحلقة، يعاد تقييم حالة التلامس (تلامس/انفصال) بعد تقارب تكرار Newton الداخلي. وإذا تغيرت الحالة، تُحدَّث بنية مصفوفة الصلابة ويُشغل التكرار الداخلي مرة أخرى. تنتهي الحلقة عندما تبقى حالة التلامس دون تغيير عن المرور السابق وتتحقق معايير تقارب التلامس (معيارا قوة التلامس ومضاعف Lagrange). ويُحدد الحد الأعلى لعدد مرات المرور بواسطة MAXCONTITER في !STEP.

مع تلامس SLAGRANGE، تُدمج درجات حرية التلامس في النظام الخطي باستخدام طريقة مضاعف Lagrange القياسية، فتنتج بنية من طبقتين يوضع فيها تكرار Newton مباشرة داخل حلقة البحث عن حالة التلامس. ولا يوجد تكرار Lagrange معزّز.

مع تلامس ALAGRANGE، يُضاف تكرار Lagrange معزّز داخل حلقة البحث عن حالة التلامس، ويُنفذ تكرار Newton داخله، فتنتج بنية من ثلاث طبقات. عند كل تكرار Lagrange معزّز، يُعاد تقييم قيد التلامس باستخدام مزيج من حد العقوبة ومضاعف Lagrange، مما يحسن دقة القيد تدريجياً. ويُحدد الحد الأعلى لعدد تكرارات Lagrange المعزّز بواسطة AUGITER في !CONTACT_ALGO.

قيم التحكم لتكرار التلامس كما يلي.

الدور مكان التحديد
الحد الأعلى لعدد تكرارات حلقة البحث عن حالة التلامس. يُستخدم لكل من SLAGRANGE وALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
الحد الأعلى لعدد تكرارات Lagrange المعزّز. يُستخدم لـ ALAGRANGE فقط. !CONTACT_ALGO AUGITER
معيار التقارب لتصحيح مضاعف Lagrange. يُستخدم مع معيار المتبقي في التحليلات ذات التلامس. !STEP CONVERG_LAG

يعني عدد تكرارات التلامس المشار إليه في قرارات الزيادة التلقائية في التحكم في الخطوات عدد التكرارات الموصوفة في هذه الصفحة، بما في ذلك تحديثات حالة التلامس. تميل التحليلات التي يحدث فيها التلامس والانفصال مراراً إلى الحاجة إلى عدد أكبر من تكرارات التلامس، مما يؤثر أيضاً في قرارات الزيادة التلقائية وcutback. ولمعرفة أنواع التلامس وتعريف الأزواج واختيار الخوارزمية، راجع التلامس والتضمين. ولمعرفة كيفية حل النظام الخطي الذي يتضمن درجات حرية التلامس، راجع المحلّل والتهيئة المسبقة.

التكامل الزمني في التحليل الديناميكي (الطريقة الضمنية)

تستخدم الطريقة الضمنية للتحليل الديناميكي طريقة Newmark-β لربط الإزاحة والسرعة والتسارع في الزمن التالي عند كل خطوة زمنية، وتجمع هذه العلاقات مع معادلة الحركة للحصول على الحالة عند الزمن \(t + \Delta t\). ويكون قيد الاستقرار على الخطوة الزمنية \(\Delta t\) غير صارم، مما يسمح بحل الاستجابات الإنشائية التي تهيمن عليها مكونات منخفضة التردد بكفاءة.

يُستخدم معاملا التكامل الزمني التاليان.

المعامل الدور
\(\beta\) معامل متعلق بالاستيفاء الزمني للإزاحة.
\(\gamma\) معامل متعلق بالاستيفاء الزمني للسرعة.

تُسمى التركيبة \(\beta = 1/4\) و\(\gamma = 1/2\) طريقة التسارع المتوسط، وهي اختيار قياسي مستقر دون قيد ولا يملك تخميداً عددياً. ولإدخال تخميد عددي، اختر \(\gamma\) أكبر من \(1/2\). للتفاصيل الرياضية لتركيبات المعاملات والاستقرار وخصائص الخطأ، راجع دليل النظرية.

عند تضمين اللاخطية (هندسية أو مادية أو تلامس)، يُنفذ تكرار Newton داخل كل خطوة زمنية؛ ويُحل النظام الخطي داخل التكرار وتُحدّث الحالة. تستخدم معايير التقارب CONVERG والقيم المرتبطة بها المشتركة مع التحليل الساكن. وفي التحليل الديناميكي مع التلامس، تُدمج البنية التكرارية نفسها الموضحة في تكرار التلامس في التحليل الساكن داخل كل خطوة زمنية.

يُتحكم في الخطوة الزمنية في التحليل الديناميكي أساساً بواسطة شروط الزمن في !STEP. مع الزيادات الثابتة، يحدد !STEP قيمة DTIME كخطوة زمنية وETIME كمدة الخطوة. وتُعامل القيمتان n_step وt_delta في !DYNAMIC كقيم افتراضية عند إغفال !STEP وللتوافق مع الإصدارات السابقة. في الطريقة الضمنية اللاخطية، يفعّل !STEP مع INC_TYPE=AUTO الزيادات التلقائية وcutback، فتزداد أو تنقص الخطوة الزمنية وفق حالة تكرارات Newton والتلامس. وسواء استُخدمت الزيادات الثابتة أو التلقائية، اضبط الخطوة الزمنية مع مراعاة كل من التقارب والدقة المطلوبة.

التكامل الزمني في التحليل الديناميكي (الطريقة الصريحة)

تستخدم الطريقة الصريحة للتحليل الديناميكي طريقة الفروق المركزية لحساب الحالة في الزمن التالي مباشرة من معلومات الإزاحة والسرعة والتسارع في الزمن السابق فقط. ونظراً إلى عدم حل معادلات آنية، تكون كلفة الحساب لكل خطوة منخفضة. وحتى عند تضمين اللاخطية، تكون كل خطوة زمنية تحديثاً أحادي المرحلة بلا تكرار Newton.

للخطوة الزمنية حد أعلى يفرضه شرط استقرار يعتمد على أصغر دور طبيعي للنظام (شرط CFL). تؤدي خطوة زمنية تتجاوز هذا الحد إلى تباعد الحل العددي، لذلك لا يمكن استخدام خطوات زمنية كبيرة مثل تلك الممكنة في الطريقة الضمنية. تكون الطريقة الصريحة مفيدة لظواهر مثل الصدم وانتشار الموجات والتلامس عالي السرعة، حيث تكون الخطوات الزمنية الصغيرة مطلوبة بطبيعتها.

عند تضمين التلامس، تُستخدم طريقة Forward Increment Lagrange لفرض قيود التلامس. وتُقيّم قوى التلامس بطريقة تتوافق مع التحديث أحادي المرحلة للطريقة الصريحة.

طريقة الحل لتحليل الاستجابة الترددية

يحصل تحليل الاستجابة الترددية مباشرة على الاستجابة الدورية المستقرة في مجال التردد باستخدام طريقة تراكب الأنماط. ويقيّم الاستجابة مع تغيير تردد الإثارة ولا يحتاج إلى تتبع تاريخ زمني بالتكرار. ولا تُجرى تكرارات لاخطية ولا تكامل زمني.

قبل إجراء تحليل الاستجابة الترددية، يجب تنفيذ التحليل النمطي للنظام نفسه واستخراج العدد المطلوب من الأنماط الطبيعية. تُدعم النماذج الخطية فقط؛ ولا يمكن إجراء التحليل عند تفعيل اللاخطية الهندسية أو المادية. ولمعرفة موضع نوع التحليل هذا، راجع أنواع التحليل.

تقدم الزمن والتكرار اللاخطي في التوصيل الحراري غير المستقر

للتوصيل الحراري غير المستقر حلقة زمنية خاصة به تُستكمل داخل !HEAT. يُتحكم في الخطوة الزمنية عبر مسار منفصل عن !STEP و!AUTOINC_PARAM للتحليل الإنشائي، وعندما تعتمد خواص المادة على درجة الحرارة يُجرى تكرار لاخطي داخل كل خطوة زمنية.

يُختار مخطط التكامل الزمني بواسطة المعامل \(\beta\) في !HEAT.

\(\beta\) المخطط الخصائص
0.5 طريقة Crank-Nicolson دقة من الرتبة الثانية. مناسبة للمسائل ذات التغيرات السلسة في درجة الحرارة.
1.0 طريقة Backward Euler دقة من الرتبة الأولى. مستقرة دون قيد وتوفر استقراراً للتحليلات طويلة المدة والتغيرات الحادة في درجة الحرارة.

يُتحكم في الخطوة الزمنية تكيفياً بالجمع بين الخطوة الزمنية الابتدائية، والحد الأدنى للخطوة الزمنية، وأقصى تغير في درجة الحرارة لكل خطوة. إذا تجاوز تغير درجة الحرارة DELTMX بعد الحساب عند خطوة زمنية، تُخفض الخطوة الزمنية وتُعاد حساب الخطوة. ويُجهض التحليل إذا هبطت الخطوة الزمنية دون الحد الأدنى DTMIN.

عندما تعتمد خواص المادة على درجة الحرارة، يُجرى تكرار لاخطي داخل كل خطوة زمنية. ويُتحكم في التكرار كما يلي.

الدور المعامل
الحد الأعلى للتكرارات اللاخطية. !HEAT ITMAX
معيار التقارب. !HEAT EPS

لا يستخدم التوصيل الحراري المستقر خطوات زمنية؛ وإنما يُجرى التكرار اللاخطي فقط عندما تعتمد خواص المادة على درجة الحرارة. ولأن التحكم في الزمن لتحليل التوصيل الحراري مستقل عن !STEP للتحليل الإنشائي، تحقق من إعدادات !HEAT عند ضبط الخطوة الزمنية.

موضوعات ذات صلة