Ir para o conteúdo

Iteração Não Linear e Integração no Tempo

O FrontISTR avança a solução combinando iterações não lineares e integração no tempo em cada subpasso, dentro do controle de incrementos de cada passo. Esta página descreve as estruturas iterativas situadas entre o controle externo de passos e o solver linear interno: iterações de Newton-Raphson, iterações de contato, integração no tempo para análise dinâmica e o arcabouço de avanço temporal e iteração não linear na condução de calor transiente.

Visão Geral

A solução não linear e a integração no tempo dentro de um passo têm uma estrutura aninhada composta por vários laços, do mais externo para o mais interno. Cada camada tem a função a seguir.

Camada Função Principal página de referência
Laço de passos Divide toda a análise em vários passos e alterna condições de contorno, cargas, contato e ativação de elementos. Controle de Passos
Laço de subpassos Divide um passo em incrementos de tempo e avança usando incrementos fixos ou incrementos automáticos e cutback. Controle de Passos
Avanço de estado pela integração no tempo Em análise dinâmica e condução de calor transiente, obtém o estado no instante seguinte a partir do estado do passo anterior. Esta página
Laço de busca do estado de contato Em análise de contato, busca alterações no estado de contato (contato/separação) e atualiza a estrutura da matriz de rigidez. Esta página
Iteração externa de Lagrange aumentado Com contato ALAGRANGE, melhora progressivamente a precisão da restrição de contato. Esta página
Iteração de Newton Resolve iterativamente as equações de equilíbrio não lineares pelo método de Newton-Raphson. Esta página
Solução do sistema linear Resolve o sistema linear baseado na matriz de rigidez tangente em cada iteração de Newton. Solver e Pré-condicionamento

Quais dessas camadas aparecem depende do tipo de análise.

Tipo de análise Integração no tempo Busca do estado de contato Iteração externa Iteração de Newton
Análise estática linear — — — —
Análise estática não linear (sem contato) — — — Sim
Análise estática não linear (contato SLAGRANGE) — Sim — Sim
Análise estática não linear (contato ALAGRANGE) — Sim Sim Sim
Análise dinâmica, implícita Newmark-β — — Sim (quando não linear)
Análise dinâmica, explícita Diferenças centrais — — —
Análise de resposta em frequência Superposição modal — — —
Condução de calor transiente Crank-Nicolson / Euler implícito — — Sim (quando as propriedades do material dependem da temperatura)
Condução de calor em regime estacionário — — — Sim (quando as propriedades do material dependem da temperatura)

Para saber como selecionar o tipo e o algoritmo de contato em si, consulte Contato e Embutimento. Esta página descreve como o algoritmo selecionado é organizado como um laço iterativo.

Seleção do Esquema de Solução

A estrutura iterativa é determinada automaticamente pelo tipo de análise selecionado (Tipos de Análise), pela presença ou ausência de não linearidade (não linearidade geométrica, não linearidade do material ou contato) e pelo algoritmo de contato (SLAGRANGE ou ALAGRANGE). O usuário ajusta diretamente os limites superiores do número de iterações e os critérios de convergência.

As diretrizes a seguir se aplicam ao ajuste dessas configurações.

  • Em análises padrão, o limite superior padrão do número de iterações geralmente é suficiente. Se um problema de difícil convergência atingir o número máximo de iterações sem convergir, use primeiro o cutback (Controle de Passos); aumente o limite superior somente se isso não melhorar a convergência.
  • Ajuste os critérios de convergência para equilibrar a estabilidade da análise e o tempo de cálculo. Critérios mais rigorosos melhoram a precisão do equilíbrio, mas aumentam o número de iterações. Em análises de contato e análises que envolvem multiplicadores de Lagrange, combinar critérios de incremento de deslocamento ou de Lagrange com o critério de resíduo pode melhorar a estabilidade.
  • Para os parâmetros de integração no tempo da análise dinâmica (coeficientes de Newmark-β), comece com uma combinação padrão de valores e ajuste-os ao alterar as características de amortecimento numérico da resposta vibratória.
  • Para o esquema de integração no tempo da condução de calor transiente, use Crank-Nicolson em problemas com variações suaves de temperatura e Euler implícito quando variações abruptas ou a estabilidade de longo prazo forem mais importantes.

Iteração de Newton-Raphson em Análise Estática

Na análise estática não linear, equações de equilíbrio que contêm não linearidade geométrica ou do material são resolvidas iterativamente pelo método de Newton-Raphson. Cada iteração prossegue da seguinte forma.

  1. Avaliar o vetor residual \(\boldsymbol{R}\) na solução atual.
  2. Montar a matriz de rigidez tangente \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Resolver o sistema linear \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) para obter a correção de deslocamento \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Atualizar a solução como \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Comparar com os critérios de convergência. Se a convergência for atingida, encerrar a iteração; caso contrário, retornar à etapa 1.

O solver linear executa a solução do sistema linear (etapa 3). Para selecionar o solver e o pré-condicionador, consulte Solver e Pré-condicionamento.

A iteração é controlada pelos parâmetros de controle de passos de !STEP. Os principais valores de controle são os seguintes.

Função Parâmetro
Limite superior do número de iterações. Se o limite for atingido sem convergência, o subpasso fica sujeito a cutback. MAXITER
Critério de convergência baseado na norma relativa do resíduo. CONVERG
Critério de convergência baseado na razão das normas da correção de deslocamento. É usado em conjunto com o critério de resíduo para melhorar a estabilidade. CONVERG_DDISP
Critério de divergência para a norma do resíduo. A iteração é encerrada quando este valor é excedido. MAXRES

O número máximo de iterações de Newton mencionado nas decisões de incremento automático e cutback em Controle de Passos corresponde ao número de iterações de Newton descritas nesta página. O controle de incremento automático aumenta o incremento de tempo após um subpasso que convergiu em poucas iterações e o reduz após um subpasso que exigiu muitas iterações.

Iteração de Contato em Análise Estática

Na análise de contato, o estado de contato muda durante a iteração devido ao contato, à separação e ao deslizamento nas superfícies de contato; por isso, a iteração de Newton é combinada com atualizações do estado de contato. A estrutura depende do algoritmo de solução de contato.

Ambos os algoritmos colocam um laço de busca do estado de contato no nível mais externo. A cada passagem por esse laço, o estado de contato (contato/separação) é reavaliado após a convergência da iteração de Newton interna. Se o estado tiver mudado, a estrutura da matriz de rigidez é atualizada e a iteração interna é executada novamente. O laço termina quando o estado de contato permanece inalterado em relação à passagem anterior e os critérios de convergência do contato (critérios de força de contato e de multiplicador de Lagrange) são satisfeitos. O limite superior do número de passagens é especificado por MAXCONTITER de !STEP.

Com contato SLAGRANGE, os graus de liberdade de contato são incorporados ao sistema linear pelo método padrão dos multiplicadores de Lagrange, resultando em uma estrutura de duas camadas na qual a iteração de Newton fica diretamente dentro do laço de busca do estado de contato. Não há iteração de Lagrange aumentado.

Com contato ALAGRANGE, uma iteração de Lagrange aumentado é adicionada dentro do laço de busca do estado de contato, e a iteração de Newton é executada dentro dela, produzindo uma estrutura de três camadas. Em cada iteração de Lagrange aumentado, a restrição de contato é reavaliada usando uma combinação do termo de penalidade e do multiplicador de Lagrange, melhorando progressivamente a precisão da restrição. O limite superior do número de iterações de Lagrange aumentado é especificado por AUGITER de !CONTACT_ALGO.

Os valores de controle da iteração de contato são os seguintes.

Função Especificado em
Limite superior do número de iterações do laço de busca do estado de contato. Usado tanto para SLAGRANGE quanto para ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Limite superior do número de iterações de Lagrange aumentado. Usado somente para ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Critério de convergência para a correção do multiplicador de Lagrange. Usado juntamente com o critério de resíduo em análises com contato. !STEP CONVERG_LAG

O número de iterações de contato mencionado nas decisões de incremento automático em Controle de Passos corresponde ao número de iterações descritas nesta página, incluindo as atualizações do estado de contato. Análises em que contato e separação ocorrem com frequência tendem a exigir mais iterações de contato, o que também afeta as decisões de incremento automático e cutback. Para os tipos de contato, definições de pares e seleção do algoritmo em si, consulte Contato e Embutimento. Para saber como resolver o sistema linear que contém graus de liberdade de contato, consulte Solver e Pré-condicionamento.

Integração no Tempo em Análise Dinâmica (Método Implícito)

O método implícito de análise dinâmica utiliza o método de Newmark-β para relacionar deslocamento, velocidade e aceleração no instante seguinte em cada passo de tempo e combina essas relações com a equação do movimento para obter o estado no instante \(t + \Delta t\). A restrição de estabilidade sobre o passo de tempo \(\Delta t\) é branda, permitindo resolver com eficiência respostas estruturais dominadas por componentes de baixa frequência.

São usados os dois parâmetros de integração no tempo a seguir.

Parâmetro Função
\(\beta\) Coeficiente relacionado à interpolação temporal do deslocamento.
\(\gamma\) Coeficiente relacionado à interpolação temporal da velocidade.

A combinação \(\beta = 1/4\) e \(\gamma = 1/2\) é chamada método da aceleração média e é uma escolha padrão incondicionalmente estável e sem amortecimento numérico. Para introduzir amortecimento numérico, escolha \(\gamma\) maior que \(1/2\). Para detalhes matemáticos sobre combinações de parâmetros, estabilidade e características de erro, consulte o manual teórico.

Quando há não linearidade (não linearidade geométrica, não linearidade do material ou contato), a iteração de Newton é executada dentro de cada passo de tempo; o sistema linear é resolvido dentro da iteração e o estado é atualizado. Os critérios de convergência usam CONVERG e valores relacionados compartilhados com a análise estática. Na análise dinâmica com contato, a mesma estrutura iterativa de Iteração de Contato em Análise Estática é incorporada em cada passo de tempo.

O passo de tempo na análise dinâmica é controlado principalmente pelas condições de tempo de !STEP. Com incrementos fixos, !STEP especifica DTIME como passo de tempo e ETIME como duração do passo. Os valores n_step e t_delta de !DYNAMIC são tratados como padrões quando !STEP é omitido e para compatibilidade retroativa. No método implícito não linear, !STEP com INC_TYPE=AUTO habilita incrementos automáticos e cutback, aumentando ou reduzindo o passo de tempo conforme o estado das iterações de Newton e de contato. Independentemente de se usar incrementos fixos ou automáticos, defina o passo de tempo levando em conta tanto a convergência quanto a precisão necessária.

Integração no Tempo em Análise Dinâmica (Método Explícito)

O método explícito de análise dinâmica usa o método das diferenças centrais para calcular diretamente o estado no instante seguinte apenas a partir das informações de deslocamento, velocidade e aceleração do instante anterior. Como não se resolvem equações simultâneas, o custo computacional por passo é baixo. Mesmo quando há não linearidade, cada passo de tempo é uma atualização de estágio único, sem iteração de Newton.

O passo de tempo possui um limite superior imposto por uma condição de estabilidade baseada no menor período natural do sistema (condição CFL). Um passo de tempo acima desse limite faz a solução numérica divergir; portanto, não é possível usar passos grandes como no método implícito. O método explícito é vantajoso para fenômenos como impacto, propagação de ondas e contato em alta velocidade, nos quais passos de tempo pequenos são inerentemente necessários.

Quando há contato, o método Forward Increment Lagrange é usado para impor as restrições de contato. As forças de contato são avaliadas de forma consistente com a atualização de estágio único do método explícito.

Método de Solução para Análise de Resposta em Frequência

A análise de resposta em frequência obtém diretamente a resposta periódica em regime permanente no domínio da frequência pelo método de superposição modal. Ela avalia a resposta enquanto varia a frequência de excitação e não precisa acompanhar um histórico temporal por meio de iterações. Não são executadas iterações não lineares nem integração no tempo.

Antes de executar a análise de resposta em frequência, deve-se realizar uma análise modal para o mesmo sistema e extrair o número necessário de modos naturais. Somente modelos lineares são suportados; a análise não pode ser executada quando a não linearidade geométrica ou do material está habilitada. Para o posicionamento desse tipo de análise, consulte Tipos de Análise.

Avanço Temporal e Iteração Não Linear na Condução de Calor Transiente

A condução de calor transiente possui seu próprio laço temporal, concluído dentro de !HEAT. O passo de tempo é controlado por um caminho separado de !STEP e !AUTOINC_PARAM da análise estrutural e, quando as propriedades do material dependem da temperatura, a iteração não linear é executada dentro de cada passo de tempo.

O esquema de integração no tempo é selecionado com o parâmetro \(\beta\) de !HEAT.

\(\beta\) Esquema Características
0.5 Método de Crank-Nicolson Precisão de segunda ordem. Adequado para problemas com variações suaves de temperatura.
1.0 Método de Euler implícito Precisão de primeira ordem. Incondicionalmente estável e proporciona estabilidade para análises de longa duração e variações bruscas de temperatura.

O passo de tempo é controlado de forma adaptativa combinando o passo de tempo inicial, o passo de tempo mínimo e a variação máxima de temperatura por passo. Se a variação de temperatura exceder DELTMX após o cálculo de um passo de tempo, o passo de tempo é reduzido e o passo é recalculado. A análise é interrompida se o passo de tempo ficar abaixo do passo de tempo mínimo DTMIN.

Quando as propriedades do material dependem da temperatura, a iteração não linear é executada dentro de cada passo de tempo. A iteração é controlada da seguinte forma.

Função Parâmetro
Limite superior das iterações não lineares. !HEAT ITMAX
Critério de convergência. !HEAT EPS

A condução de calor em regime estacionário não utiliza avanço temporal; somente a iteração não linear é executada quando as propriedades do material dependem da temperatura. Como o controle de tempo da análise de condução de calor é independente de !STEP da análise estrutural, verifique as configurações de !HEAT ao ajustar o passo de tempo.

Tópicos Relacionados