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Princípio dos Trabalhos Virtuais

Com base na equação de equilíbrio e nas condições de contorno derivadas em Tensão e Leis de Conservação, derivamos o princípio dos trabalhos virtuais, que é a forma fraca do problema de valor de contorno da mecânica do contínuo. A discretização pelo método dos elementos finitos parte dessa forma fraca. Este capítulo apresenta tanto a forma na configuração atual (expressa pela tensão de Cauchy e pela parte linear da deformação de Almansi) quanto a forma na configuração de referência (expressa pela segunda tensão de Piola-Kirchhoff e pela deformação de Green-Lagrange), demonstra sua equivalência e, por fim, confirma a redução para pequenas deformações.

Equação de Equilíbrio e Condições de Contorno

Seja \(\boldsymbol{g}\) a força de volume atuante sobre o contínuo por unidade de massa e considere um corpo que ocupa o domínio \(\Omega\) na configuração atual. O contorno \(\Gamma\) é particionado no contorno geométrico \(\Gamma_B\), no qual o deslocamento é prescrito como \(\bar{\boldsymbol{u}}\), e no contorno mecânico \(\Gamma_t\), no qual a tração é prescrita como \(\bar{\boldsymbol{t}}\), com \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) e \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Para um problema estático, a equação de equilíbrio é obtida omitindo-se o termo de inércia da lei de conservação da quantidade de movimento apresentada em Tensão e Leis de Conservação:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ \Omega \]

As condições de contorno são

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{em} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{em} \ \Gamma_B \]

Daqui em diante, o princípio dos trabalhos virtuais é derivado como a forma fraca da equação de equilíbrio e da condição de contorno mecânica \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). A condição de contorno geométrica \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) é incorporada por meio da escolha da função de teste.

Forma Fraca na Configuração Atual

Na forma fraca, defina o espaço admissível para o deslocamento desconhecido e o espaço das funções de teste, respectivamente, como

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{em} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{em} \ \Gamma_B \} \]

Aqui, \(d\) é a dimensão espacial, \(H^1(\Omega)\) é o espaço de Sobolev das funções quadraticamente integráveis juntamente com suas primeiras derivadas fracas, e \(\delta\) denota variação. Na representação na configuração atual, \(\Omega\) é a configuração deformada; em uma solução numérica real, ela é trazida de volta à configuração de referência ou a uma configuração intermediária conhecida.

Multiplicando a equação de equilíbrio pelo peso \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) e aplicando o teorema da divergência de Gauss e a condição de contorno mecânica, obtém-se o seguinte princípio dos trabalhos virtuais na configuração atual.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Aqui, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) é a parte linear do tensor de deformação de Almansi, definida por

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Sua variação é \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Assim, procura-se \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tal que a equação de trabalho virtual seja satisfeita para todo \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). O lado esquerdo é o trabalho virtual das forças internas, enquanto o lado direito é o trabalho virtual das forças externas devidas à tração prescrita e à força de volume.

Como essa equação é escrita sobre o domínio deformado (configuração atual), um procedimento de solução real seleciona novamente a configuração inicial \(\Omega_0\) (configuração de referência) ou uma configuração intermediária conhecida como configuração de referência, reescreve a equação na forma incremental e então a resolve. Consulte Arcabouço para Análise Incremental para a escolha específica da configuração de referência (Total Lagrange / Updated Lagrange) e a decomposição incremental.

Forma Fraca na Configuração Inicial

Considere um corpo que ocupa o domínio \(\Omega_0\) na configuração de referência, com o contorno \(\Gamma_0\) particionado em \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Ao trazer a representação na configuração atual de volta à configuração de referência, obtém-se o par conjugado tensão-deformação formado pela segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e pela deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). O princípio dos trabalhos virtuais na configuração inicial é então

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Aqui, \(\rho_0\) é a densidade de massa na configuração de referência e, pela relação de conservação da massa \(\rho_0 = J\rho\), essa expressão é equivalente à representação da força de volume na configuração atual.

Equivalência das Representações nas Configurações Atual e Inicial

O trabalho virtual das forças internas nas duas representações coincide por meio da transformação pelo gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\) e pela razão de volumes \(J = \det \boldsymbol{F}\); isto é,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Os termos de força externa também são equivalentes pela conservação da massa e pela transformação de tração. Portanto, a equação de trabalho virtual na configuração atual e a equação na configuração inicial expressam o mesmo princípio em configurações diferentes. Um método de solução que toma como referência a configuração de referência corresponde ao método Total Lagrange, enquanto um método de solução que toma como referência a configuração atual (a configuração convergida imediatamente anterior) corresponde ao método Updated Lagrange.

Redução para Pequenas Deformações

Sob as hipóteses de pequenas deformações \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) e \(J \approx 1\), desaparece a distinção entre as configurações atual e de referência, a segunda tensão PK coincide com a tensão de Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), e tanto a deformação de Green-Lagrange quanto a parte linear da deformação de Almansi se reduzem à deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

O princípio dos trabalhos virtuais então se reduz à forma fraca expressa em termos da tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e da deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ \Gamma_B \]

Esta é a forma fraca usada diretamente para a discretização na análise estática elástica linear de pequenas deformações (Análise Estática Elástica Linear (Introdução e Apêndice) parte dessa forma e mostra a construção da rigidez do elemento \(\boldsymbol{K}^e\) até a montagem da equação global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Substituindo a lei constitutiva elástica linear \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) e escrevendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) na notação de Voigt, a forma fraca torna-se

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

que possui esta forma.

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