가상일의 원리¶

응력과 보존 법칙에서 유도한 평형방정식과 경계조건을 바탕으로, 연속체역학 경계값 문제의 약형인 가상일의 원리를 유도한다. 유한요소법에 의한 이산화는 이 약형에서 출발한다. 본 장에서는 현재 배치(Cauchy 응력과 Almansi 변형률의 선형 부분으로 표현)와 기준 배치(제2 Piola-Kirchhoff 응력과 Green-Lagrange 변형률로 표현)의 두 형식을 제시하고, 양자가 등가임을 보인 뒤 미소변형으로의 귀착을 확인한다.

평형방정식과 경계조건¶

연속체에 작용하는 단위 질량당 물체력을 \(\boldsymbol{g}\)라 하고, 현재 배치에서 영역 \(\Omega\)를 차지하는 물체를 생각한다. 경계 \(\Gamma\)는 변위가 \(\bar{\boldsymbol{u}}\)로 규정되는 기하학적 경계 \(\Gamma_B\)와 표면력이 \(\bar{\boldsymbol{t}}\)로 규정되는 역학적 경계 \(\Gamma_t\)로 분할되며, \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)로 한다. 정적 문제에서는 응력과 보존 법칙에 제시된 운동량 보존법칙에서 관성항을 제외한

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{영역} \ \Omega \]

을 평형방정식으로 한다. 경계조건은

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{경계} \ \Gamma_t \]

\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{경계} \ \Gamma_B \]

으로 주어진다. 이하에서는 가상일의 원리를 평형방정식과 역학적 경계조건 \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)의 약형으로 유도한다. 기하학적 경계조건 \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)는 시험함수의 선택을 통해 반영된다.

현재 배치 표현의 약형¶

약형에서는 미지 변위의 허용공간과 시험함수 공간을 각각

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{경계} \ \Gamma_B \} \]

\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{경계} \ \Gamma_B \} \]

로 둔다. 여기서 \(d\)는 공간 차원, \(H^1(\Omega)\)는 1차 약미분까지 제곱적분 가능한 Sobolev 공간이며, \(\delta\)는 변분 기호이다. 현재 배치 표현에서 \(\Omega\)는 변형 후의 배치이며, 실제 수치해법에서는 기준 배치 또는 알려진 중간 배치로 되돌려 취급한다.

평형방정식에 가중함수 \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)를 곱하고 Gauss의 발산정리와 역학적 경계조건을 적용하면, 현재 배치에서의 가상일의 원리는 다음 식이 된다.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

여기서 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)는 Almansi 변형률 텐서의 선형 부분이며,

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

로 정의된다. 그 변분은 \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\)이다. 즉, \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\)를 구하고 임의의 \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)에 대해 가상일 식을 만족하도록 요구한다. 좌변은 내력의 가상일, 우변은 규정 표면력과 물체력에 의한 외력의 가상일이다.

이 식은 변형 후(현재 배치)의 영역에서 기술되어 있으므로, 실제 해법에서는 초기 배치 \(\Omega_0\)(기준 배치) 또는 알려진 중간 배치를 참조 배치로 다시 선택하고 증분형으로 고쳐 쓴 뒤 해를 구한다. 참조 배치의 구체적인 선택(Total Lagrange / Updated Lagrange)과 증분 분해는 증분해석의 틀을 참조한다.

초기 배치 표현의 약형¶

기준 배치에서 영역 \(\Omega_0\)를 차지하는 물체를 생각하고, 그 경계 \(\Gamma_0\)를 \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\)로 분할한다. 현재 배치 표현을 기준 배치로 되돌리면 응력-변형률의 공액쌍은 제2 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{S}\)와 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\)가 된다. 이때 초기 배치에서의 가상일의 원리는

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

로 쓸 수 있다. 여기서 \(\rho_0\)는 기준 배치의 질량 밀도이며, 질량보존법칙 \(\rho_0 = J\rho\)에 의해 현재 배치의 물체력 표현과 등가이다.

현재 배치 표현과 초기 배치 표현의 등가성¶

두 표현의 내력 가상일은 변형구배 \(\boldsymbol{F}\)와 체적비 \(J = \det \boldsymbol{F}\)에 의한 변환을 통해 일치한다. 즉,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

이다. 외력항도 질량보존법칙과 표면력의 변환에 의해 등가이다. 따라서 현재 배치의 가상일 식과 초기 배치의 가상일 식은 동일한 원리를 서로 다른 배치에서 표현한 것이다. 기준 배치를 참조하는 해법은 Total Lagrange법에, 현재 배치(직전의 수렴 배치)를 참조하는 해법은 Updated Lagrange법에 대응한다.

미소변형으로의 귀착¶

미소변형 가정 \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) 아래에서는 현재 배치와 기준 배치의 구별이 사라지고, 제2 PK 응력은 Cauchy 응력과 일치하며(\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), Green-Lagrange 변형률과 Almansi 변형률의 선형 부분은 모두 미소변형률 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)로 귀착된다.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

이때 가상일의 원리는 Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\)와 미소변형률 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)에 의한 약형

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{경계} \ \Gamma_B \]

으로 귀착된다. 이는 미소변형·선형탄성 정적해석에서 이산화에 직접 사용하는 약형이다(선형탄성 정적해석(입문·부록)에서는 이 형식을 출발점으로 하여 요소 강성 \(\boldsymbol{K}^e\)의 구성부터 전체 방정식 \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)의 조립까지 제시한다).

선형탄성 구성법칙 \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\)를 대입하고 Voigt 표기에서 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)로 쓰면, 약형은

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

의 형태가 된다.