주파수 응답 해석
문제 정식화
주파수 응답 해석은 외력이 시간에 따라 조화적으로 변할 때 시스템의 정상상태 응답 진폭과 위상을 주파수 영역에서 평가합니다. 감쇠 유무에 따라 지배 운동방정식의 취급이 달라지므로, 이 장에서는 먼저 무감쇠 자유진동으로부터 고유모드를 유도하고 이를 모드 기저로 사용하여 감쇠가 있는 조화 응답을 전개합니다.
무감쇠 자유진동과 고유모드
감쇠를 무시하면 운동방정식은 다음과 같습니다.
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + K U = 0
\label{eq:2.6.1}
\end{equation}\]
변위를 각 고유모드로 전개하면
\[\begin{equation}
U = U_j e^{i \omega_j t}
\label{eq:2.6.2}
\end{equation}\]
이를 식 \(\eqref{eq:2.6.1}\) 에 대입하면
\[\begin{equation}
K U_j = \omega_j^2 M U_j
\label{eq:2.6.3}
\end{equation}\]
을 얻습니다.
이는 일반화 고유값 문제입니다. 시프트 역반복법과 Lanczos법을 포함한 수치 해법은 모드 해석 에서 다룹니다. 여기서는 이후 조화 응답 전개에 사용하는 고유진동수와 고유모드의 성질을 정리합니다.
고유진동수의 실수성
고유진동수가 실수임은 다음과 같이 보일 수 있습니다. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) 라 둡니다. 식 \(\eqref{eq:2.6.3}\) 의 복소켤레를 취하면 식 \(\eqref{eq:2.6.4}\) 를 얻습니다.
\[\begin{equation}
K U_j = \lambda_j M U_j
K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J}
\label{eq:2.6.4}
\end{equation}\]
\(\overline{U}_J^T\) 를 곱하면
\[\begin{equation}
U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J
U_j^T M \overline{U}_J
\overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j
\label{eq:2.6.5}
\end{equation}\]
식 \(\eqref{eq:2.6.5}\) 로부터
\[\begin{equation}
0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j
\label{eq:2.6.6}
\end{equation}\]
입니다.
질량 행렬은 대칭 양의 정부호이므로 0이 아닌 고유벡터에 대해
\[\begin{equation}
\overline{U_J} M U_j > 0
\label{eq:2.6.7}
\end{equation}\]
입니다.
따라서
\[\begin{equation}
\lambda_j =\overline{\lambda_J}
\label{eq:2.6.8}
\end{equation}\]
이고, 그러므로 \(\omega_j^2 = \lambda_j\) 는 실수입니다.
고유모드의 직교성과 정규화
서로 다른 두 모드를 생각합니다.
\[\begin{equation}
K U_i = \lambda_i M U_i
K U_j = \lambda_j M U_j
\label{eq:2.6.9}
\end{equation}\]
그러면
\[\begin{equation}
( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.10}
\end{equation}\]
이고, 고유값이 서로 다르면
\[\begin{equation}
U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.11}
\end{equation}\]
입니다.
따라서 서로 다른 고유모드는 질량 행렬에 대해 직교합니다.
같은 모드에 대해서는 식 \(\eqref{eq:2.6.12}\) 와 같이 질량 행렬에 대해 정규화하면 이후의 취급이 간단해집니다.
\[\begin{equation}
U_i^T M U_i = 1
\label{eq:2.6.12}
\end{equation}\]
감쇠가 있는 조화 응답
다음으로 감쇠를 고려한 주파수 응답 해석의 정식화를 제시합니다. 지배 운동방정식은 식 \(\eqref{eq:2.6.13}\) 과 같습니다.
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F
\label{eq:2.6.13}
\end{equation}\]
감쇠항은 Rayleigh형이라고 가정하며 식 \(\eqref{eq:2.6.14}\) 로 나타냅니다.
\[\begin{equation}
C = \alpha M + \beta K
\label{eq:2.6.14}
\end{equation}\]
모드 해석에서 얻은 고유벡터를 사용하면 시각 t 에서의 변위 벡터는 식 \(\eqref{eq:2.6.15}\) 와 같이 전개할 수 있습니다.
\[\begin{equation}
U(t) = \sum_i b_i(t) U_i
\label{eq:2.6.15}
\end{equation}\]
외력항이 다음의 조화형이라고 가정합니다.
\[\begin{equation}
F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.16}
\end{equation}\]
그러면 \(b_{j}(t)\) 를 구합니다. 식 \(\eqref{eq:2.6.13}\) 의 운동방정식은 강제진동 형태이므로
\[\begin{equation}
b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.17}
\end{equation}\]
가 성립합니다. 전개 계수 \(b_{j}(t)\) 의 실수부와 허수부는 각각 식 \(\eqref{eq:2.6.18}i\) 및 \(\eqref{eq:2.6.19}\) 로 주어집니다.
\[\begin{equation}
b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.18}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.19}
\end{equation}\]
이로써 원하는 조화 응답 계수를 얻습니다.
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