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증분해석의 틀

증분해석의 필요성

앞에서 설명한 바와 같이 미소변형 문제의 해석에서는 평형방정식 등의 기초방정식과 등가인 가상일의 원리를 이용하고, 이 식을 유한요소로 이산화함으로써 유한요소해석을 수행할 수 있다. 구조물의 대변형을 다루는 유한변형 문제의 해석에서도 기본적으로 가상일의 원리를 사용한다는 점은 동일하다.

그러나 유한변형 문제에서는 재료의 선형성을 가정하더라도 가상일의 원리 식은 변위에 대해 비선형 방정식이 된다. 비선형식을 풀기 위해서는 일반적으로 반복법에 의한 반복 계산이 사용된다.

그 반복 계산에서는 작은 하중 증분마다 구간별로 계산하고 이를 누적하여 최종 변형 상태에 도달하는 증분해석 기법이 사용된다. 미소변형 문제를 가정한 경우 변형률과 응력을 정의하기 위한 배치는 변형 전과 변형 후를 특별히 구별하지 않았다. 즉, 미소변형을 가정한 경우에는 기초방정식을 기술하는 배치가 변형 전이든 변형 후이든 문제가 되지 않았다.

유한변형 문제에서 증분해석을 수행할 경우 참조 배치로 초기 배치를 취하는지, 증분 시작 시점의 배치를 취하는지에 따라 정식화가 달라진다. 전자를 total Lagrange법, 후자를 updated Lagrange법이라 한다. 자세한 내용은 장 말의 참고문헌 등을 참조하기 바란다.

출발식: 시각 \(t'\)에서의 가상일의 원리

시각 \(t\)까지의 상태가 알려져 있고 시각 \(t' = t + \Delta t\)의 상태를 미지로 하는 증분해석을 가정한다(그림 2.2.1 참조). 시각 \(t'\)에서의 평형방정식·경계조건·가상일의 원리(현재 배치 표현, Cauchy 응력 \(^{t'}\sigma\)와 Almansi 변형률의 선형 부분 \(^{t'} A_{(L)}\)에 의한 표현)는 가상일의 원리에 제시된 바와 같다.

증분해석의 개념

그림 2.2.1　증분해석의 개념

다만 이 출발식은 시각 \(t'\)의 (미지의) 배치에서 기술되어 있으므로, 실제 해법에서는 시각 \(0\)의 초기 배치 \(V\) 또는 시각 \(t\)의 현재 배치 \(^{t'} v\)를 참조 배치로 다시 선택하고 증분형으로 고쳐 쓴 뒤 해를 구한다:

  • Total Lagrange법 — 초기 배치 \(V\)를 참조한다. 제2 PK 응력 \(\boldsymbol{S}\)와 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\)를 사용한다.
  • Updated Lagrange법 — 증분 시작 시점의 현재 배치 \(^{t}v\)를 참조한다. Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\)와 Almansi 변형률의 선형 부분 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)을 사용한다.

두 정식화의 공간 이산화(B 행렬·내력 벡터)는 내력 가상일의 이산화를, 선형화와 접선강성의 구성은 접선강성행렬을 참조한다.

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