콘텐츠로 이동

형상함수의 공간 미분

형상함수와 유한요소 근사에서 도입한 형상함수 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)는 요소의 로컬 좌표인 자연좌표 \(\boldsymbol{r}\)의 함수로 주어진다. 한편 약형의 피적분 함수에는 변형률-변위 관계를 통해 물리 좌표(기준 배치 \(\boldsymbol{X}\) 또는 현재 배치 \(\boldsymbol{x}\))에 대한 편미분 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) 또는 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\)가 나타난다. 이 장에서는 이러한 형상함수의 공간 미분을 요소 절점 좌표와 자연좌표 미분으로부터 계산하는 절차를 정리한다.

연쇄법칙에 의한 공간 미분 표현

보간식 \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\)(이전 장)에 연쇄법칙을 적용하면, 자연좌표에서 물리 좌표로의 사상의 Jacobian 행렬 \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\)를 사용하여

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

을 얻는다. 여기서 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) 및 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)은 행 \(\alpha\)가 절점 \(\alpha\)의 편미분 벡터를 나타내는 \(n_e \times 3\) 행렬이다.

Jacobian 행렬의 구성

보간식을 \(\boldsymbol{r}\)로 편미분하면

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

이 되며, 요소 절점 좌표 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\)와 자연좌표 미분 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)로부터 직접 구성할 수 있다. 자연좌표 미분은 형상함수의 함수 형태로 결정되며 요소 종류별로 미리 구현된다.

Jacobian 행렬의 행렬식 \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\)은 수치 적분에서 체적 요소의 변환 \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\)에 사용한다. 행렬식이 \(0\)이 되는 경우 요소가 퇴화되어 계산이 실패한다.

계산 흐름

이상의 유도에서 공간 미분 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)의 계산은 다음 4단계로 나눌 수 있다.

  1. 자연좌표 미분 계산: 요소 종류와 평가점의 자연좌표 \(\boldsymbol{r}\)를 입력으로 하여 자연좌표 미분 행렬 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)을 계산한다. 요소 종류마다 형상함수의 함수 형태가 다르므로 요소 종류에 따라 분기한다.
  2. Jacobian 행렬 계산: 요소 절점 좌표 \(\boldsymbol{X}^e\)와 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)로부터 앞 절의 식에 따라 Jacobian 행렬 \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\)을 조립한다.
  3. 역행렬 및 행렬식 계산: Jacobian 행렬의 역행렬 \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)과 행렬식을 계산한다. 행렬식은 수치 적분의 가중치에 사용한다.
  4. 공간 미분 계산: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)과 \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)의 곱으로 공간 미분 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)를 얻는다.

이 4단계는 요소 종류와 공간 차원(2차원 또는 3차원)에 따라 분기하지만 전체 흐름은 공통이다.

기준 배치와 현재 배치에서의 공통화

위 절차는 \(\boldsymbol{X}^e\)를 현재 배치의 절점 좌표 \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\)로 바꾸기만 하면 현재 배치의 공간 미분 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\)에도 적용할 수 있다. 따라서 Total Lagrange법과 Updated Lagrange법에서 입력 절점 좌표만 전환하여 동일한 절차를 공용할 수 있다.

관련 항목