선형 탄성¶

이 장에서는 선형 탄성 재료의 구성 법칙(Hooke 법칙)을 다룬다. 모델 선택과 입력 지정에 대한 자세한 내용은 기능 편 03_material을 참조한다.

현상(선형 탄성 응답)¶

선형 탄성체란 하중에 대한 변형률이 충분히 작은 영역에서 응력과 변형률이 선형 관계를 가지며, 제하 시 모든 변형률이 원래 상태로 되돌아가는 가역적이고 이력 비의존적인 응답을 보이는 재료를 말한다. 소성이나 크리프와 달리 상태를 나타내는 내부 변수(소성 변형률이나 점성 변형률 등)를 가지지 않으며, 응력은 현재의 변형률만으로 유일하게 정해진다.

미소 변형 영역에서는 Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\)와 미소 변형률 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)을 사용하고, 유한 변형 영역(큰 회전을 포함하지만 변형률 자체는 작은 문제)에서는 제2 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{S}\)와 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\)를 사용한다(St.Venant-Kirchhoff 재료).

구성 법칙¶

등방성 선형 탄성체¶

미소 변형 영역에서의 등방성 Hooke 법칙은 Lamé 상수 \(\lambda, \mu\)를 사용하여

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

으로 표현된다. 성분 표기에서는

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

가 되며, 변형률과의 이중 축약에 의해 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\)을 얻는다. Lamé 상수는 Young률 \(E\)와 Poisson비 \(\nu\)와 다음 관계에 있다:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt 표기에서 변형률 벡터 \(\hat{\varepsilon}\)과 응력 벡터 \(\hat{\sigma}\)의 관계는 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)로 쓰며, 3차원 재료 행렬 \(D\)는

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

으로 주어진다(구현에서는 이 행렬 표현을 사용한다).

직교이방성 선형 탄성체¶

주축 방향마다 탄성 상수가 다른 재료에서는 9개의 독립 상수를 갖는 직교이방성 모델을 사용한다. 즉, 주축 방향 Young률 \(E_1, E_2, E_3\), 주축 간 Poisson비 \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), 전단 탄성계수 \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)이다. 구체적인 \(D\) 행렬의 형식은 일반적인 참고문헌을 참조한다.

유한 변형 영역: St.Venant-Kirchhoff 재료¶

큰 회전을 포함하지만 변형률 자체는 작은 문제에서는 제2 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{S}\)와 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\)에 대한 선형 탄성 법칙으로 St.Venant-Kirchhoff 재료를 사용한다:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé 상수 \(\lambda, \mu\)의 정의는 미소 변형의 경우와 같다. 다만 응력과 변형률 정의의 조합이 다르므로, 미소 변형의 Hooke 법칙과는 별도의 구성 법칙임에 유의한다.

아탄성 재료¶

Updated Lagrange법에서는 상대 Kirchhoff 응력 텐서의 Jaumann 속도 \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\)와 변형 속도 텐서 \(\boldsymbol{D}\) 사이의 선형 탄성 법칙

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

을 사용하는 아탄성 재료를 이용한다. 이 경우도 Lamé 상수에 의한 \(\boldsymbol{C}\)의 정의는 위와 동일하지만, 응력과 변형률의 조합이 다르므로 별도의 구성 법칙이다. 시간 적분 절차(전진 Euler 적분과 중앙차분 근사)에 의해 \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\)가 응력 갱신되는 자세한 내용은 tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex을 참조한다.

2차원 해석 및 셸 요소로의 축약¶

평면 응력(\(\sigma_{33} = 0\))¶

얇은 판이나 셸의 하중을 나타내는 평면 응력에서는 \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\)을 가정하고, 면외 방향 변형률 성분 \(\varepsilon_{33}\)을 대수적으로 제거한 \(D\)를 사용한다:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

평면 변형률(\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

두께 방향이 구속된 긴 구조물의 단면을 나타내는 평면 변형률에서는 \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\)을 가정한다:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

축대칭¶

원통 좌표 \((r, \theta, z)\)에서 \(\theta\) 방향으로 균일한 문제를 다루는 축대칭 해석에서는 \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\), \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\)의 4개 성분을 유지하고,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

이 된다.

셸 요소(평면 응력 + 횡전단)¶

셸 요소에서는 면내 응력을 평면 응력으로 취급하고, 추가로 횡전단 변형률 성분 \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\)에 대해 전단 보정계수 \(\kappa\)(일반적으로 \(\kappa = 5/6\))를 적용한 \(\kappa\, G\)를 사용한다. 요소별 구체적인 정식화는 고성능 요소 정식화를 참조한다. 기능 편 03_material에 있는 "셸 요소는 선형 탄성만 지원"이라는 사양은 면내 상태를 평면 응력으로 취급하는 이 단순화에 기반한다.

온도 의존성¶

Young률 \(E\), Poisson비 \(\nu\), 선팽창계수 \(\alpha\)는 일반적으로 온도 \(T\)의 함수로 지정된다. FrontISTR에서는 유한한 온도점 열 \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\)에 대한 값을 입력하고, 계산 중의 온도 \(T\)에 대해서는 인접점 사이의 선형 보간으로 평가한다. 범위 밖의 온도(\(T < T_1\) 또는 \(T > T_n\))에 대해서는 가장 가까운 끝점 \(T_1\) 또는 \(T_n\)의 값으로 외삽한다(상수 외삽).

열 및 열전도 물성(밀도, 비열, 열전도율)의 온도 의존성은 열 물성을 참조한다. 보간 규칙은 이들 물성과 공통이다.