线性弹性¶

本章介绍线性弹性材料的本构关系（Hooke 定律）。有关模型选择和输入指定的详细信息，请参阅功能部分 03_material。

现象（线性弹性响应）¶

线性弹性体是指在载荷作用下应变足够小的范围内，应力与应变呈线性关系，并且卸载时全部应变恢复原状，表现出可逆且与历史无关响应的材料。与塑性或蠕变不同，它不具有表示状态的内部变量（如塑性应变或黏性应变），应力仅由当前应变唯一确定。

在小变形范围内使用 Cauchy 应力 \(\boldsymbol{\sigma}\) 和小应变 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)；在有限变形范围内（包含大转动但应变本身较小的问题）使用第 2 Piola-Kirchhoff 应力 \(\boldsymbol{S}\) 和 Green-Lagrange 应变 \(\boldsymbol{E}\)（St.Venant-Kirchhoff 材料）。

本构关系¶

各向同性线性弹性体¶

小变形范围内的各向同性 Hooke 定律使用 Lamé 常数 \(\lambda, \mu\) 表示为

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

其分量形式为

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

并通过与应变的双重缩并得到 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\)。Lamé 常数与 Young 模量 \(E\) 和 Poisson 比 \(\nu\) 的关系如下：

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

在 Voigt 表示中，应变向量 \(\hat{\varepsilon}\) 与应力向量 \(\hat{\sigma}\) 的关系写为 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)，三维材料矩阵 \(D\) 为

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

给出如下（实现中使用该矩阵表示）。

正交各向异性线性弹性体¶

对于各主轴方向弹性常数不同的材料，采用具有 9 个独立常数的正交各向异性模型：主轴方向 Young 模量 \(E_1, E_2, E_3\)，主轴间 Poisson 比 \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\)，以及剪切模量 \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)。具体的 \(D\) 矩阵形式请参阅一般参考文献。

有限变形范围：St.Venant-Kirchhoff 材料¶

对于包含大转动但应变本身较小的问题，采用 St.Venant-Kirchhoff 材料，将其作为第 2 Piola-Kirchhoff 应力 \(\boldsymbol{S}\) 与 Green-Lagrange 应变 \(\boldsymbol{E}\) 之间的线性弹性关系：

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé 常数 \(\lambda, \mu\) 的定义与小变形情况相同。但请注意，由于应力与应变的定义组合不同，因此这是与小变形 Hooke 定律不同的本构关系。

亚弹性材料¶

在 Updated Lagrange 法中，采用相对 Kirchhoff 应力张量的 Jaumann 率 \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) 与变形速率张量 \(\boldsymbol{D}\) 之间的线性弹性关系

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

的亚弹性材料。此处由 Lamé 常数定义的 \(\boldsymbol{C}\) 也与上述相同，但由于应力与应变的组合不同，因此属于不同的本构关系。关于通过时间积分过程（前向 Euler 积分与中心差分近似）更新应力 \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) 的详细方法，请参阅 tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex。

向二维分析和壳单元的简化¶

平面应力（\(\sigma_{33} = 0\)）¶

对于表示薄板或壳体载荷的平面应力，假设 \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\)，并使用通过代数方式消去面外应变分量 \(\varepsilon_{33}\) 后的 \(D\)：

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

平面应变（\(\varepsilon_{33} = 0\)）¶

对于表示厚度方向受约束的长结构截面的平面应变，假设 \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\)：

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

轴对称¶

在圆柱坐标 \((r, \theta, z)\) 中，对于处理 \(\theta\) 方向均匀问题的轴对称分析，保留 \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\)、\(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) 这 4 个分量，并有

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

。

壳单元（平面应力 + 横向剪切）¶

在壳单元中，面内应力按平面应力处理；此外，对于横向剪切应变分量 \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\)，使用带有剪切修正系数 \(\kappa\)（通常为 \(\kappa = 5/6\)）的 \(\kappa\, G\)。各单元的具体公式请参阅高性能单元公式。功能部分 03_material 中“壳单元仅支持线性弹性”的规格，正是基于将面内状态按平面应力处理这一简化。

温度依赖性¶

Young 模量 \(E\)、Poisson 比 \(\nu\) 和线膨胀系数 \(\alpha\) 通常指定为温度 \(T\) 的函数。在 FrontISTR 中，对有限个温度点序列 \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) 输入相应数值，计算中的温度 \(T\) 通过相邻点之间的线性插值进行求值。对于范围外的温度（\(T < T_1\) 或 \(T > T_n\)），使用最近端点 \(T_1\) 或 \(T_n\) 的数值进行外推（常数外推）。

热学与热传导物性（密度、比热和热导率）的温度依赖性请参阅热物性。这些物性采用相同的插值规则。