انتقل إلى المحتوى

المرونة الخطية

يتناول هذا الفصل القانون التأسيسي (قانون Hooke) للمواد المرنة خطيًا. للاطلاع على تفاصيل اختيار النموذج ومواصفات الإدخال، راجع قسم الوظائف 03_material.

الظاهرة (الاستجابة المرنة الخطية)

الجسم المرن خطيًا هو مادة تكون فيها العلاقة بين الإجهاد والانفعال خطية ضمن مجال تكون فيه الانفعالات الناتجة عن الحمل صغيرة بما يكفي، وتُظهر استجابة عكوسة مستقلة عن التاريخ بحيث تعود جميع الانفعالات إلى حالتها الأصلية عند إزالة الحمل. وعلى خلاف اللدونة أو الزحف، لا توجد له متغيرات داخلية تمثل الحالة (مثل الانفعال اللدن أو الانفعال اللزج)، ويتحدد الإجهاد بصورة فريدة من الانفعال الحالي فقط.

في مجال التشوهات الصغيرة، يُستخدم إجهاد Cauchy ‏\(\boldsymbol{\sigma}\) والانفعال المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon}\)؛ أما في مجال التشوهات المحدودة (المسائل التي تتضمن دورانات كبيرة مع بقاء الانفعال نفسه صغيرًا)، فيُستخدم إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني \(\boldsymbol{S}\) وانفعال Green-Lagrange ‏\(\boldsymbol{E}\) (مادة St.Venant-Kirchhoff).

القانون التأسيسي

مادة مرنة خطيًا متساوية الخواص

في مجال التشوهات الصغيرة، يُكتب قانون Hooke المتساوي الخواص باستخدام ثابتَي Lamé ‏\(\lambda, \mu\) كما يلي

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

وبصيغة المركبات،

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ويعطي الانكماش المزدوج مع الانفعال العلاقة \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). ويرتبط ثابتا Lamé بمعامل Young ‏\(E\) ونسبة Poisson ‏\(\nu\) كما يلي:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

في ترميز Voigt، تُكتب العلاقة بين متجه الانفعال \(\hat{\varepsilon}\) ومتجه الإجهاد \(\hat{\sigma}\) على الصورة \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)، وتكون مصفوفة المادة ثلاثية الأبعاد \(D\)

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(يُستخدم تمثيل المصفوفة هذا في التنفيذ).

مادة مرنة خطيًا متعامدة الخواص

بالنسبة إلى المواد التي تختلف ثوابتها المرنة بحسب اتجاهات المحاور الرئيسية، يُستخدم نموذج متعامد الخواص ذو تسعة ثوابت مستقلة: معاملات Young في اتجاهات المحاور الرئيسية \(E_1, E_2, E_3\)، ونسب Poisson بين المحاور الرئيسية \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\)، ومعاملات القص \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). ويُترك الشكل الصريح لمصفوفة \(D\) للمراجع العامة.

مجال التشوهات المحدودة: مادة St.Venant-Kirchhoff

بالنسبة إلى المسائل التي تتضمن دورانات كبيرة مع بقاء الانفعال نفسه صغيرًا، تُستخدم مادة St.Venant-Kirchhoff بوصفها قانونًا مرنًا خطيًا يربط إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني \(\boldsymbol{S}\) بانفعال Green-Lagrange ‏\(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

تعريف ثابتي Lamé ‏\(\lambda, \mu\) هو نفسه كما في حالة التشوهات الصغيرة. لكن يجب الانتباه إلى أن زوج تعريف الإجهاد والانفعال مختلف، ولذلك فهذا قانون تأسيسي مختلف عن قانون Hooke للتشوهات الصغيرة.

مادة شبه مرنة

في طريقة Updated Lagrange، تُستخدم مادة شبه مرنة تعتمد قانونًا مرنًا خطيًا بين معدل Jaumann لموتر إجهاد Kirchhoff النسبي \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) وموتر معدل التشوه \(\boldsymbol{D}\)

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

وهنا أيضًا يكون تعريف \(\boldsymbol{C}\) بواسطة ثوابتي Lamé هو نفسه أعلاه، لكن اختلاف زوج الإجهاد والانفعال يجعل القانون التأسيسي مختلفًا. للاطلاع على تفاصيل تحديث الإجهاد \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) بواسطة إجراء التكامل الزمني (تكامل Euler الأمامي وتقريب الفروق المركزية)، راجع tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

الاختزال للتحليل ثنائي الأبعاد وعناصر القشرة

الإجهاد المستوي (\(\sigma_{33} = 0\))

في حالة الإجهاد المستوي، التي تمثل تحميل الصفائح الرقيقة والقشور، يُفترض \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\)، وتُستخدم مصفوفة \(D\) بعد حذف مركبة الانفعال خارج المستوى \(\varepsilon_{33}\) جبريًا:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

الانفعال المستوي (\(\varepsilon_{33} = 0\))

في حالة الانفعال المستوي، التي تمثل مقطعًا عرضيًا لمنشأ طويل مقيد في اتجاه السماكة، يُفترض \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

تماثل محوري

في التحليل ذي التماثل المحوري، الذي يعالج المسائل المتجانسة في اتجاه \(\theta\) ضمن الإحداثيات الأسطوانية \((r, \theta, z)\)، تُحتفظ بالمركبات الأربع \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) و\(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\)، ويكون

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

.

عناصر القشرة (إجهاد مستوٍ + قص عرضي)

في عناصر القشرة، يُعامل الإجهاد داخل المستوى كإجهاد مستوٍ، ويُستخدم كذلك \(\kappa\, G\) لمركبتي انفعال القص العرضي \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) مع معامل تصحيح القص \(\kappa\) (عادةً \(\kappa = 5/6\)). للاطلاع على الصياغة التفصيلية لكل عنصر، راجع صيغ العناصر المتقدمة. أما المواصفة الواردة في قسم الوظائف 03_material بأن «عناصر القشرة تدعم المرونة الخطية فقط» فتعتمد على هذا التبسيط الذي يعامل الحالة داخل المستوى كإجهاد مستوٍ.

الاعتماد على درجة الحرارة

يُحدد عادةً معامل Young ‏\(E\) ونسبة Poisson ‏\(\nu\) ومعامل التمدد الخطي \(\alpha\) بوصفها دوالًا في درجة الحرارة \(T\). في FrontISTR، تُدخل القيم عند سلسلة محدودة من نقاط درجات الحرارة \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\)، وتُقيَّم درجة الحرارة \(T\) أثناء الحساب بالاستيفاء الخطي بين النقطتين المتجاورتين. أما درجات الحرارة خارج المجال (\(T < T_1\) أو \(T > T_n\))، فتُستخدم قيمة أقرب طرف، \(T_1\) أو \(T_n\)، للاستقراء (استقراء ثابت).

للاعتماد على درجة الحرارة للخواص الحرارية وخواص التوصيل الحراري (الكثافة، والحرارة النوعية، والموصلية الحرارية)، راجع الخواص الحرارية. قواعد الاستيفاء مشتركة بين هذه الخواص.

موضوعات ذات صلة