انتقل إلى المحتوى

صيغ العناصر المتقدمة

تُظهر الصياغة القياسية المعتمدة على الإزاحة، المعروضة في صياغة العناصر الصلبة ثلاثية الأبعاد، صلابةً اصطناعية مفرطة تُعرف باسم القفل (القفل الحجمي أو قفل القص) عند تطبيقها على مواد شبه غير قابلة للانضغاط أو على هياكل رقيقة الجدران يهيمن عليها الانحناء. ولتجنب ذلك، يوفر FrontISTR طريقتي B-bar وF-bar اللتين تستبدلان الجزء الحجمي فقط من مصفوفة B أو تدرج التشوه؛ وعناصر غير متوافقة ذات درجات حرية داخلية؛ وعناصر مختلطة u-p تتعامل مع الضغط بوصفه حقلاً مجهولاً مستقلاً؛ وعناصر MITC الصدفية والعوارض المتخصصة في هياكل الصفائح والعوارض.

يلخص هذا الفصل صيغ هذه العناصر المتقدمة والعناصر الإنشائية على أساس كل نوع من العناصر.

طريقة B-bar

عند استخدام عنصر سداسي الوجوه خطي ذي 8 عقد لمادة شبه غير قابلة للانضغاط، قد يتعارض حقل الانفعال داخل العنصر الواحد مع قيد ثبات الحجم، مما ينتج صلابة مفرطة تُعرف بالقفل الحجمي. تخفف طريقة B-bar هذا التقييد الزائد باستبدال مكونات مصفوفة B التي تسهم في التمدد الحجمي بقيم مقيمة عند مركز العنصر [Hughes1980].

عند مركز العنصر \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\)، لتكن مصفوفة B المحسوبة من المشتقات المكانية لدوال الشكل هي \(\bar{\boldsymbol{B}}\)؛ وعند نقطة التكامل \(\boldsymbol{r}\)، لتكن مصفوفة B العادية هي \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). في علاقة الإزاحة-الانفعال للعقدة \(\alpha\) ودرجة الحرية \(i\)، تُعدّل مكونات الانفعال الحجمي \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) بإضافة

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

أما مكونات القص \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) فتُستخدم لها \(\boldsymbol{B}\) العادية. وتُجمّع صلابة العنصر ومتجه القوة الداخلية باستخدام مصفوفة B-bar الناتجة.

يوفر FrontISTR هذه الصياغة تحديداً للعنصر السداسي الوجوه الخطي ذي 8 عقد (معرّف العنصر 361؛ راجع نظام ترقيم العناصر)، ويمكن تطبيقها على صيغ التشوه الصغير وTotal Lagrange وUpdated Lagrange.

طريقة F-bar

في حالة التشوه المحدود، يدخل التغير الحجمي لاخطياً عبر تدرج التشوه \(\boldsymbol{F}\). تطبق طريقة F-bar [deSouzaNeto1996] معالجةً للقفل الحجمي مماثلة لطريقة B-bar ولكن على مستوى تدرج التشوه.

ليكن معدل الحجم لتدرج التشوه المقيم عند مركز العنصر \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) هو \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)، وليكن معدل الحجم عند نقطة التكامل هو \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). يُستبدل تدرج التشوه عند نقطة التكامل بـ

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

ينتج عن ذلك \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\)، بحيث يُطابق معدل الحجم في كامل العنصر القيمة عند مركز العنصر. ويُستخدم \(\bar{\boldsymbol{F}}\) المستبدل لتقييم الإجهاد وإنشاء مصفوفة الانفعال-الإزاحة، كما تتضمن الصلابة المماسية للعنصر الحدود الإضافية المرتبطة بهذا الاستبدال.

يطبق FrontISTR طريقة F-bar تحديداً للعنصر السداسي الوجوه الخطي ذي 8 عقد، ويمكن تطبيقها على التشوه الصغير وكذلك على الهندسة اللاخطية بصيغتي Total Lagrange / Updated Lagrange.

العناصر غير المتوافقة

يفتقر العنصر السداسي الوجوه الخطي ذو 8 عقد إلى أنماط الانفعال اللازمة للانحناء، ويُظهر قفل الانحناء في المسائل التي يهيمن عليها الانحناء. تُدخل العناصر غير المتوافقة [Taylor1976] أنماط إزاحة إضافية داخل العنصر لتعويض هذا القصور.

بالإضافة إلى إزاحات عقد العنصر \(\boldsymbol{u}^e\)، تُدخل درجات حرية للنمط غير المتوافق \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) لا توجد إلا داخل العنصر، بواقع 3 اتجاهات × 3 أنماط لكل عنصر، ويُقرب حقل الإزاحة كما يلي

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

بالنسبة للإحداثيات الطبيعية \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)، تؤخذ دوال الشكل غير المتوافقة على الصورة \(M_1 = 1 - \xi^2\) و\(M_2 = 1 - \eta^2\) و\(M_3 = 1 - \zeta^2\). وهي لا تضمن الاستمرارية عبر حدود العناصر، لكنها تضيف فضاءً داخلياً قادراً على تمثيل الانفعالات المرتبطة بأنماط الانحناء.

تُجمع صلابة العنصر أولاً في صورة كتل لدرجات الحرية الخارجية/الداخلية

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

بعد التجميع بهذه الصورة، يلغي التكثيف الساكن درجات الحرية الداخلية باستخدام \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\)، لينتج صلابة العنصر التي تتضمن درجات الحرية الخارجية فقط

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

والتي تُمرر إلى التجميع العام.

يطبق FrontISTR العنصر غير المتوافق تحديداً للعنصر السداسي الوجوه الخطي ذي 8 عقد (C3D8IC)، ويمكن تطبيقه على صيغ التشوه الصغير وTotal Lagrange وUpdated Lagrange.

العناصر المختلطة U-P

بينما تصحح طريقتا B-bar وF-bar المكون الحجمي ضمن إطار معتمد على الإزاحة، يستخدم العنصر المختلط u-p‏ (U-P) صياغةً مختلطة [Bathe1996] تُدخل الضغط \(\lambda\) كحقل مجهول مستقل عن الإزاحة. بالنسبة للمواد شبه غير القابلة للانضغاط، مثل المواد الشبيهة بالمطاط ذات نسبة بواسون القريبة جداً من 0.5 أو المعادن بعد التشوه اللدن، يؤدي فرض قيد ثبات الحجم باستخدام حقل الإزاحة وحده إلى قفل حجمي؛ ومعاملة الضغط كمتغير مستقل تخفف هذا القيد.

يُفصل الإجهاد إلى مكون انحرافي ومكون ضغط كما يلي

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

هنا، \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) هي مصفوفة المرونة الانحرافية الناتجة عن إزالة الجزء الحجمي المتناسب مع معامل الحجم \(K\) من مصفوفة المرونة. ويرتبط الضغط \(\lambda\) والانفعال الحجمي \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) بواسطة القيد من خلال قابلية الانضغاط \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

ينتج عن التقسيم باستخدام الإزاحة \(\boldsymbol{u}\) والضغط \(\lambda\) كمجهولين نظام العنصر المقترن

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

حيث تحتوي \(\mathbf{K}_{uu}\) على المساهمة المرنة الانحرافية، وعلى الصلابة الهندسية في حالة التشوه المحدود؛ وتربط \(\mathbf{K}_{up}\) بين الانفعال الحجمي والضغط؛ و\(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) هي حد تثبيت الضغط (\(\boldsymbol{N}_p\) هي دالة شكل الضغط). ولأن درجات حرية الضغط داخلية للعنصر،

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

يُجرى التكثيف الساكن بهذه الصورة، وتُمرر الصلابة الفعالة التي تتضمن درجات الحرية الخارجية (الإزاحة) فقط إلى التجميع العام.

يطبق FrontISTR عنصر U-P تحديداً للعنصر السداسي الوجوه الخطي ذي 8 عقد، مع درجة حرية ضغط واحدة لكل عنصر (ثابتة داخل العنصر). ويمكن تطبيقه على صيغ التشوه الصغير وTotal Lagrange وUpdated Lagrange. وفي Updated Lagrange، يُحدّث الإجهاد الانحرافي باستخدام معدل إجهاد موضوعي (من نوع Jaumann/Hughes-Winget)، ثم يُفرض الضغط \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) باستخدام القيمة الناتجة من التكثيف الساكن.

العناصر الصدفية

تُستخدم العناصر الصدفية المبنية على نظرية الصفائح/القشريات Reissner-Mindlin للهياكل الرقيقة الجدران من الصفائح والقشريات. ومع تناقص السماكة، تبالغ عناصر الصفائح/القشريات منخفضة الرتبة المعتمدة على الإزاحة في تقدير انفعال القص العرضي بآلية شبيهة بالقفل الحجمي (قفل القص)، مما يؤدي إلى زيادة مفرطة في صلابة أنماط الانحناء. تتجنب طريقة MITC ‏(Mixed Interpolation of Tensorial Components)‏ [Dvorkin1984] [Bathe1986] هذه المشكلة بإعادة أخذ عينات لمكونات انفعال القص فقط عند نقاط ربط محددة مسبقاً داخل العنصر، ثم استيفاء تلك القيم على كامل العنصر.

تقع عقد عنصر MITC الصدفي على السطح الأوسط، ولكل عقدة ست درجات حرية: ثلاثة مكونات انتقالية وثلاثة مكونات دورانية حول نظام الإحداثيات العمودي على السطح الأوسط. تُقيّم صلابة العنصر بالتكامل الغاوسي ثلاثي الأبعاد على الإحداثيات الطبيعية للسطح الأوسط واتجاه السماكة، وتُعطى السماكة \(h\) كخاصية للعنصر أثناء تقييم العلاقة التكوينية.

يوفر FrontISTR العناصر MITC3 (معرّف العنصر 731) وMITC4 (741) وMITC9 (743)، الممثلة بطبقة واحدة عند السطح الأوسط، وكذلك العناصر الصدفية الطبقية MITC3-shell361 ‏(761،‏ 3\(\times\)2 عقد، 3 درجات حرية لكل عقدة) وMITC4-shell361 ‏(781،‏ 4\(\times\)2 عقد، 3 درجات حرية لكل عقدة)، التي تُرتب عقدها في طبقتين عبر السماكة. وفي العناصر الصدفية الطبقية، تتكون درجات حرية العقد من ثلاثة مكونات انتقالية فقط، بينما تُمثل أنماط الانحناء المقابلة لدرجات الحرية الدورانية بواسطة ترتيب الطبقتين.

عناصر العوارض

تُقسّم الأعضاء الخطية مثل الجوائز والهياكل الإطارية باستخدام عناصر العوارض. يستخدم FrontISTR صياغة عارضة Timoshenko التي تأخذ تشوه القص في الحسبان وتمثل كلاً من الانحناء والقص بدلالة درجات الحرية الانتقالية والدورانية.

لكل عقدة عارضة ست درجات حرية: ثلاثة مكونات انتقالية وثلاثة مكونات دورانية حول محور العارضة والمحاور العرضية. تُقيّم صلابة العنصر بالتكامل العددي أحادي البعد على طول محور العارضة. وتُعطى مساحة المقطع العرضي \(A\) وعزوم المساحة الثانية \(I\) في اتجاهات الانحناء والالتواء كخصائص لمقطع العارضة، وهي مع معامل يونغ للمادة \(E\) ومعامل القص \(G\) تحدد صلابة الشد المحوري والانحناء والالتواء والقص.

يوفر FrontISTR عنصراً مستقيماً ذا عقدتين (معرّف العنصر 611) وعنصر هجين صلب-عارضة رباعي العقد ممثلاً بثلاث عقد (641، لدرجات الحرية المختلطة).

موضوعات ذات صلة