انتقل إلى المحتوى

الشغل الافتراضي للقوى الخارجية وتجميع المعادلات العامة

في تفريد الشغل الافتراضي للقوى الداخلية، جُمّع الطرف الأيسر من الصيغة الضعيفة في متجه القوة الداخلية للعنصر \(\boldsymbol{q}^e\) (طريقة UL) أو \(\boldsymbol{Q}^e\) (طريقة TL). في هذا الفصل نُدخل متجه القوة الخارجية العقدية للعنصر \(\boldsymbol{F}^e\) من الشغل الافتراضي للقوى الخارجية، ثم نطبق عملية التجميع التي تعيد ترتيب الكميات العقدية للعناصر وفق أرقام العقد العامة وتجمعها، لنصل في النهاية إلى منظومة المعادلات غير الخطية في إزاحات العقد التي يحلها التحليل الإنشائي غير الخطي في FrontISTR.

تفكيك الشغل الافتراضي للقوى الخارجية بحسب العناصر

يمكن تفكيك الطرف الأيمن من مبدأ الشغل الافتراضي عنصرًا بعنصر إلى شغل افتراضي للقوى الخارجية يتكون من قوى الحجم (قوى الجسم) وقوى السطح المحددة على الحدود الميكانيكية. ولكتابة استيفاء الإزاحة الذي أُدخل في دوال الشكل وتقريب العناصر المحدودة بصيغة مصفوفية، نستخدم الكتلة \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ذات الأبعاد \(d \times d\) التي يوضع على قطرها دالة الشكل \(N_\alpha^e\) للعقدة \(\alpha\)، ثم نرتب هذه الكتل أفقيًا على الصورة \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)، بحيث \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). وبالتعويض في الشغل الافتراضي للقوى الخارجية المكتوب في الوضع المرجعي نحصل على

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

حيث رُتب متجه القوة الخارجية العقدية للعنصر على الصورة \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). وبذلك يُختزل الشغل الافتراضي للقوى الخارجية إلى الصورة نفسها في جانب القوى الداخلية، أي «متجه عقدي للعنصر × دالة الاختبار» (وعند الكتابة في الوضع الحالي نحصل على الصورة نفسها باستبدالات \(dV \to dv\) و\(\rho_0 \to \rho\) و\(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

تجميع الكميات العقدية للعناصر

تُجمع الكميات العقدية \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) المحسوبة لكل عنصر في متجهات عامة مرتبة بحسب رقم العقدة العام. إذا عبّرنا عن رقم العقدة العام الموافق لرقم العقدة المحلي \(\alpha\) في العنصر \(\Omega^e\) بالصيغة

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

فإن الكمية العقدية للعنصر تساوي المركبة المقابلة من الكمية العقدية العامة (مثلًا \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). وبما أن العقدة \(i_g\) تُشارك عادةً بين عدة عناصر، نعرّف مجموعة أزواج \((e, \alpha)\) التي يكون رقم عقدتها العام هو \(i_g\) كما يلي

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

وباستخدام هذه المجموعة لإعادة كتابة المجموع على الصورة \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) نحصل، عبر جميع العقد \(n_g\)، على القوة الداخلية العقدية ومتجه القوة الداخلية العام

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

تمثل \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) محصلة القوى الداخلية العقدية للعناصر المؤثرة في العقدة \(i_g\)، وتساوي \(\boldsymbol{0}\) عندما لا توجد قوة خارجية ويكون الاتزان متحققًا. وتنتج بالطريقة نفسها في طريقة UL الكميتان \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\)، وبما أن قيمهما تحقق \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\)، فسنستخدم فيما يلي الرمز \(\boldsymbol{Q}\) موحدًا إلا عندما يلزم التمييز. ويُحصل على متجه القوة الخارجية العام \(\boldsymbol{F}\) بالتجميع نفسه.

في التنفيذ، لا تُنشأ المجموعة \(\mathcal{E}(i_g)\) صراحةً، بل تُضاف المساهمات إلى المركبات المقابلة داخل حلقة العناصر.

تهيئة متجه القوة الداخلية العام Q إلى 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (عدد العناصر)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

يُنشأ متجه القوة الخارجية العام \(\boldsymbol{F}\) بالإجراء نفسه. وتسمى عملية إضافة الكميات العقدية للعناصر وتخزينها في المتجهات والمصفوفات المرقمة بأرقام العقد العامة التجميع (assemble). أما بالنسبة إلى الموترات من الرتبة الثانية المرتبطة برقمَي عقدتين (مثل مصفوفات الصلابة)، فيمكن إجراء النوع نفسه من التجميع باستخدام المجموعة \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (راجع مصفوفة الصلابة المماسية للتكوين المحدد).

المعادلات غير الخطية المطلوب حلها

بالتعويض بنتائج تجميع القوى الداخلية والخارجية في مبدأ الشغل الافتراضي، وبما أن العلاقة يجب أن تتحقق لأي دالة اختبار \(\delta\boldsymbol{u}^n\) تستوفي الشروط الحدّية الهندسية، نحصل على

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

وفي سياق التحليل التزايدي (إطار التحليل التزايدي)، نعيد لاحقة الزمن \(_{n+1}\) ونحذف الرمز العلوي \(^n\) الدال على المتجه العقدي العام، فتكون المعادلة المطلوب حلها

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

وبذلك تختزل مسألة القيم الحدّية المفرّدة لإيجاد إزاحة العقد \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) عند الزمن \(t_{n+1}\) إلى حل هذه المعادلة غير الخطية في الإزاحة مع الشروط الحدّية الهندسية. وتُترك خطيّة المعادلة وبناء مصفوفة الصلابة المماسية إلى مصفوفة الصلابة المماسية، وطريقة الحل التكرارية إلى طريقة Newton-Raphson.

موضوعات ذات صلة