Ana içeriğe geç

Dış Kuvvetlerin Sanal İşi ve Global Denklemlerin Montajı

İç kuvvetlerin sanal işinin ayrıklaştırılması bölümünde zayıf formun sol tarafı, eleman iç kuvvet vektörü \(\boldsymbol{q}^e\) (UL yöntemi) veya \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL yöntemi) olarak ifade edildi. Bu bölümde dış kuvvetlerin sanal işinden eleman düğüm dış kuvvet vektörü \(\boldsymbol{F}^e\) tanıtılır; ardından eleman düğüm fiziksel büyüklüklerini global düğüm numarasına göre yeniden sıralayıp toplayan montaj işlemi uygulanarak FrontISTR doğrusal olmayan yapısal analizinde çözülmesi gereken düğüm yer değiştirmelerine ilişkin doğrusal olmayan denklem sistemine ulaşılır.

Dış Kuvvetlerin Sanal İşinin Elemanlara Ayrılması

Sanal İş İlkesi bölümünün sağ tarafı, hacim kuvvetleri (cisim kuvvetleri) ve mekanik sınırda tanımlanmış yüzey kuvvetlerinden oluşan dış kuvvetlerin sanal işi olarak eleman bazında ayrıştırılabilir. Şekil Fonksiyonları ve Sonlu Eleman Yaklaşımı bölümünde tanıtılan yer değiştirme enterpolasyonunu matris biçiminde yazmak için, düğüm \(\alpha\) için şekil fonksiyonu \(N_\alpha^e\)'yi köşegen üzerinde taşıyan \(d \times d\) blok \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ve bunların yatay olarak dizildiği \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) kullanılarak \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) yazılır. Bu ifade referans konfigürasyonda yazılan dış kuvvetlerin sanal işine yerleştirildiğinde

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

elde edilir. Burada eleman düğüm dış kuvvet vektörü \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) biçiminde düzenlenmiştir. Böylece dış kuvvetlerin sanal işi, iç kuvvet tarafıyla aynı “eleman düğüm vektörü × test fonksiyonu” biçiminde toplanır (mevcut konfigürasyonda yazıldığında da \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) dönüşümleriyle aynı biçim elde edilir).

Eleman Düğüm Büyüklüklerinin Montajı

Her eleman için elde edilen düğüm büyüklükleri \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\), global düğüm numarasına göre sıralanan global vektörlerde toplanır. Eleman \(\Omega^e\) içindeki yerel düğüm numarası \(\alpha\)'ya karşılık gelen global düğüm numarası

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

ile gösterildiğinde, eleman düğüm büyüklüğü global düğüm büyüklüğünün karşılık gelen bileşeniyle aynıdır (örneğin \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Bir düğüm \(i_g\) genel olarak birden fazla eleman tarafından paylaşıldığından, global düğüm numarası \(i_g\) olan \((e, \alpha)\) çiftlerinin kümesi

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

kullanılarak toplam \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) biçiminde yeniden yazılırsa, tüm \(n_g\) düğümleri üzerindeki düğüm iç kuvveti ve global iç kuvvet vektörü

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

elde edilir. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\), düğüm \(i_g\) üzerinde etkili eleman düğüm iç kuvvetlerinin bileşkesine karşılık gelir ve dış kuvvet yokken denge sağlanmışsa \(\boldsymbol{0}\) olur. UL yönteminde de aynı işlemle \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) elde edilir; sayısal olarak \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) olduğundan, ayrım gereken yerler dışında bundan sonra \(\boldsymbol{Q}\) gösterimi kullanılır. Global dış kuvvet vektörü \(\boldsymbol{F}\) de aynı toplama işlemiyle elde edilir.

Uygulamada \(\mathcal{E}(i_g)\) kümesi açıkça oluşturulmaz; bunun yerine katkılar eleman döngüsü içinde karşılık gelen bileşenlere doğrudan eklenir.

Global iç kuvvet vektörü Q'yu 0 ile başlat: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (eleman sayısı)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Global dış kuvvet vektörü \(\boldsymbol{F}\) de aynı işlemle oluşturulur. Eleman düğüm büyüklüklerinin global düğüm numarasıyla numaralandırılmış vektör ve matrislerde karşılık gelen bileşenlere eklenip saklandığı bu işleme montaj (assemble) denir. İki düğüm numarasıyla ilişkili ikinci mertebe tensörler (örneğin rijitlik matrisleri) için, \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) kümesi kullanılarak aynı tür montaj işlemi elde edilir (ayrıntılı yapı için Teğet Rijitlik Matrisi bölümüne bakın).

Çözülmesi Gereken Doğrusal Olmayan Denklemler

Montajı yapılmış iç ve dış kuvvetler Sanal İş İlkesi içine yerleştirilir ve geometrik sınır koşullarını sağlayan herhangi bir test fonksiyonu \(\delta\boldsymbol{u}^n\) için geçerli olması kullanılırsa

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

elde edilir. Artımlı analiz (Artımlı Analiz Çerçevesi) bağlamında zaman alt indisi \(_{n+1}\) yeniden eklenip global düğüm vektörünü gösteren üst indis \(^n\) kaldırıldığında, çözülmesi gereken denklem

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

olur. \(t_{n+1}\) zamanındaki düğüm yer değiştirmesi \(\boldsymbol{u}_{n+1}\)'i bulmaya yönelik ayrıklaştırılmış sınır değer problemi, bu yer değiştirmeye ilişkin doğrusal olmayan denklemin geometrik sınır koşullarıyla birlikte çözülmesine indirgenir. Denklemin doğrusallaştırılması ve teğet rijitlik matrisinin oluşturulması Teğet Rijitlik Matrisi, yinelemeli çözüm yöntemi ise Newton-Raphson Yöntemi bölümünde ele alınır.

İlgili Konular