Ana içeriğe geç

Fiziksel Büyüklük Sembolleri Listesi

Bu sayfada FrontISTR teori kılavuzunda kullanılan fiziksel büyüklüklerin sembolleri listelenir. Gösterim kuralları (vektör ve tensörler için kalın yazım, Einstein toplama kuralı ve Voigt gösterimi) için Tensör Gösterimi ve Matematiksel Temeller bölümüne bakın.

Konfigürasyonlar ve Koordinat Sistemleri

Sembol Açıklama
\(\boldsymbol{X}\) Referans (başlangıç) konfigürasyonundaki bir malzeme noktasının konum vektörü (malzeme koordinatları)
\(\boldsymbol{x}\) Güncel konfigürasyondaki bir malzeme noktasının konum vektörü (uzaysal koordinatlar)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Hareket eşlemesi: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Cismin referans konfigürasyonunda kapladığı bölge
\(\Omega\) Cismin güncel konfigürasyonda kapladığı bölge
\(\Gamma_0\) \(\Omega_0\) bölgesinin sınırı
\(\Gamma\) \(\Omega\) bölgesinin sınırı
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrik (yer değiştirme) sınırı: güncel/referans konfigürasyonunda \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) koşulunun tanımlandığı sınır
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mekanik sınır: güncel/referans konfigürasyonunda \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (veya \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) koşulunun tanımlandığı sınır
\(\boldsymbol{n}\) Güncel konfigürasyondaki bir yüzeye ait dışa dönük birim normal vektör
\(\boldsymbol{N}\) Referans konfigürasyonundaki bir yüzeye ait dışa dönük birim normal vektör
\(t\) Zaman

Kural: Referans konfigürasyonundaki fiziksel büyüklükler büyük harflerle veya \(0\) alt indisiyle, güncel konfigürasyondaki büyüklükler ise küçük harflerle gösterilir.

Zaman ve Artımlar (Artımlı Analiz)

Sembol Açıklama
\(\Delta t\) Zaman artımı: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) \(t\) zamanındaki fiziksel büyüklük (sol üst indis). Örnek: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\), \(t\) zamanındaki Cauchy gerilmesidir
\(^{t}\Omega\) \(t\) zamanındaki güncel konfigürasyon bölgesi
\(^{t}\Gamma\) \(t\) zamanındaki güncel konfigürasyonun sınırı

Kural: Artımlı analizde, \(t\) zamanına kadar olan durum bilinen, \(t + \Delta t\) zamanındaki durum ise bilinmeyen kabul edilerek çözülür. Zamanın açıkça belirtilmesi gerekmediğinde sol üst indis kullanılmaz. Referans olarak referans konfigürasyonu \(\Omega_0\) kullanan formülasyona Total Lagrange formülasyonu, artım başlangıcındaki güncel konfigürasyon \(^{t}\Omega\) kullanan formülasyona ise Updated Lagrange formülasyonu denir.

Yer Değiştirme, Hız, İvme ve Hacim Kuvveti

Sembol Açıklama
\(\boldsymbol{u}\) Yer değiştirme vektörü: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Geometrik sınır \(\Gamma_B\) üzerinde tanımlanan yer değiştirme
\(\delta \boldsymbol{u}\) Sanal yer değiştirme (test fonksiyonu): \(\Gamma_B\) üzerinde \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Hız vektörü: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) İvme vektörü: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Hacim kuvveti (birim kütle başına)
\(\boldsymbol{t}\) Yüzey kuvveti vektörü (birim alan başına): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Mekanik sınır \(\Gamma_t\) üzerinde tanımlanan yüzey kuvveti (Neumann verisi)

Diferansiyel Operatörler

Sembol Açıklama
\(\dot{(\cdot)}\) Malzeme zamana göre türevi (aynı malzeme noktasını izleyen zaman türevi): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Referans konfigürasyonu gradyanı (malzeme koordinatları \(\boldsymbol{X}\)'e göre gradyan): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Güncel konfigürasyon gradyanı (uzaysal koordinatlar \(\boldsymbol{x}\)'e göre gradyan): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Simetrik gradyan operatörü: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Not: \(\nabla_X\) ve \(\nabla_x\), \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) bağıntısıyla ilişkilidir. Alt indisi olmayan \(\nabla\) gradyanı, konfigürasyon bağlamdan açık olduğunda veya küçük deformasyon problemlerinde olduğu gibi ayrım ortadan kalktığında kullanılır.

Deformasyon Tensörleri

Sembol Açıklama
\(\boldsymbol{F}\) Deformasyon gradyanı tensörü: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Hacim oranı: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Sağ Cauchy-Green deformasyon tensörü: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Sol Cauchy-Green deformasyon tensörü: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Hız gradyanı tensörü: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformasyon hızı tensörü (\(\boldsymbol{L}\)'nin simetrik kısmı): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Spin tensörü (\(\boldsymbol{L}\)'nin ters simetrik kısmı): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Gerinim Tensörleri

Sembol Açıklama
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange gerinim tensörü (referans konfigürasyonu): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi gerinim tensörü (güncel konfigürasyon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi gerinim tensörünün doğrusal kısmı (güncel konfigürasyondaki simetrik yer değiştirme gradyanı): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Sonsuz küçük gerinim tensörü (doğrusal yaklaşım): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Not: \(\boldsymbol{E}\) esas olarak Total Lagrange formülasyonunda, \(\boldsymbol{D}\) ise esas olarak Updated Lagrange formülasyonunda kullanılır.

Gerilme Tensörleri

Sembol Açıklama
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy gerilme tensörü (gerçek gerilme, güncel konfigürasyon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Birinci Piola-Kirchhoff gerilme tensörü (nominal gerilme): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) İkinci Piola-Kirchhoff gerilme tensörü (referans konfigürasyonu, simetrik): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Gerilme tensörleri arasındaki dönüşüm bağıntıları:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Kural: Total Lagrange formülasyonu \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) çiftini, Updated Lagrange formülasyonu ise \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) çiftini kullanır.

Yoğunluk ve Kütle

Sembol Açıklama
\(\rho\) Güncel konfigürasyondaki kütle yoğunluğu
\(\rho_0\) Referans konfigürasyonundaki kütle yoğunluğu

Kütlenin korunumu: \(\rho_0 = J\rho\).

Malzeme Sabitleri (Doğrusal Elastisite)

Sembol Açıklama
\(E\) Young modülü
\(\nu\) Poisson oranı
\(\lambda\) Birinci Lamé sabiti: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) İkinci Lamé sabiti (kayma modülü): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elastisite tensörü (dördüncü mertebe): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), bileşenler \(C_{ijkl}\)
\(D\) (veya \(\hat{\tilde{C}}\)) Malzeme matrisi (Voigt gösterimi, 3B'de \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

İzotropik doğrusal elastik bir malzeme için elastisite tensörü bileşenleri:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hiperelastik Malzemeler

Sembol Açıklama
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastik potansiyel fonksiyonu (gerinim enerjisi yoğunluğu fonksiyonu)
\(I_1, I_2, I_3\) Sağ Cauchy-Green tensörü \(\boldsymbol{C}\)'nin asal değişmezleri
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) \(\boldsymbol{C}\)'nin indirgenmiş değişmezleri (hacimsel değişim ayrılmış)
\(C_1, C_2\) Mooney-Rivlin modelinin malzeme sabitleri
\(D\) Hacimsel elastisiteyle ilgili malzeme sabiti

Elastoplastik Malzemeler

Sembol Açıklama
\(\boldsymbol{D}^e\) Deformasyon hızı tensörünün elastik bileşeni
\(\boldsymbol{D}^p\) Deformasyon hızı tensörünün plastik bileşeni
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Akma fonksiyonu
\(\kappa\) Plastik durumu temsil eden iç değişken (izotropik pekleşme değişkeni)
\(\lambda^p\) Plastik çarpan (plastik gerinim hızı çarpanı): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastik potansiyel (ilişkili akış kuralında \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\) Eşdeğer gerilme (ör. von Mises gerilmesi)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Eşdeğer plastik gerinim
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) İzotropik pekleşme fonksiyonu

Tamamlayıcılık koşulu: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Sonlu Elemanlar Yöntemi

Sembol Açıklama
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Sonlu eleman ayrıklaştırmasıyla yaklaşık temsil edilen güncel ve referans konfigürasyonu bölgeleri: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Güncel ve referans konfigürasyonlarındaki eleman bölgesi
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Eleman sınırının mekanik sınıra ait kısmı
\(\boldsymbol{r}\) Doğal koordinatlar (elemana yerel koordinatlar)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) \(\alpha\) düğümüne karşılık gelen doğal koordinatlardaki nokta
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) \(e\) elemanının \(\alpha\) düğümüne karşılık gelen şekil fonksiyonu
\(n_e\) Bir elemanı oluşturan düğüm sayısı
\(n_g\) Toplam global düğüm sayısı
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) \(\alpha\) eleman düğümünün koordinatları ve yer değiştirmesi
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Eleman düğüm koordinatı ve yer değiştirme vektörleri: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), vb.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Global düğüm koordinatı ve yer değiştirme vektörleri (önce düğüm numarasına, sonra serbestlik derecesine göre sıralı)
\(\boldsymbol{B}\) Gerinim-yer değiştirme bağıntı matrisi (B-matrisi)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Şekil fonksiyonu matrisi: \(\boldsymbol{N}_\alpha\), \(\alpha\) düğümünün \(N_\alpha^e\) şekil fonksiyonunu köşegeninde taşıyan bir \(d \times d\) bloktur ve \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Eleman rijitlik matrisi
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Eleman rijitlik matrisinin integrandları (referans ve güncel konfigürasyonlarda ifade edilir): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formülasyonu), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formülasyonu) Eleman iç kuvvet vektörü
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) \(\alpha\) eleman düğümüne etki eden düğüm dış kuvveti ve eleman düğüm dış-kuvvet vektörü: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Global iç-kuvvet vektörü ve global dış-kuvvet vektörü: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); \(\boldsymbol{F}\) için de benzer şekilde
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Global \(i_g\) düğümündeki düğüm iç kuvveti ve düğüm dış kuvveti (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) vektörlerinin düğüm blokları)
\(\boldsymbol{K}\) Global teğet rijitlik matrisi: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) boyutlu \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) bloğunun \(i_g\) satırına, \(i_h\) sütununa yerleştirilmesiyle oluşan matris
\(\boldsymbol{R}_i\) Newton-Raphson iterasyonundaki artık vektörü: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Newton-Raphson iterasyonundaki düzeltme (\(i\) iterasyonunda \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) doğrusal denklemi çözülerek elde edilir)
\(i_g\) Global düğüm numarası (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) \(e\) elemanının yerel \(\alpha\) düğüm numarasına karşılık gelen global düğüm numarası: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Global \(i_g\) düğüm numarasına karşılık gelen \((e, \alpha)\) çiftleri kümesi: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Montaj işlemlerinde kullanılır
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Global düğüm numaraları \((i_g, i_h)\) çiftine karşılık gelen \((e, \alpha, \beta)\) üçlüleri kümesi; rijitlik matrisi montajında kullanılır
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Bir elemanı oluşturan düğümlerin indisleri
\(i, j, k, l, \ldots\) Serbestlik derecelerinin indisleri (3B'de \(1, 2, 3\))

Gelişmiş Elemanlar ve Yapısal Elemanlar

Sembol Açıklama
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Hacimsel kısmı B-bar yöntemiyle değiştirilmiş gerinim-yer değiştirme bağıntı matrisi (hacimsel bileşen, eleman merkezinde değerlendirilen B-matrisiyle değiştirilir)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Hacimsel kısmı F-bar yöntemiyle değiştirilmiş deformasyon gradyanı: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Eleman merkezi \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\)'da değerlendirilen deformasyon gradyanının hacim oranı: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Uyumsuz modlu bir elemanın iç serbestlik derecesi vektörü (eleman sınırında sürekliliği zorunlu kılmayan ek yer değiştirme modlarının katsayıları)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Uyumsuz modların şekil fonksiyonları: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Kabuk eleman kalınlığı
\(A\) Kiriş elemanının kesit alanı
\(I\) Kiriş elemanı kesitinin ikinci alan momenti
\(G\) Kayma modülü: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

İlgili konular