Ana içeriğe geç

Sanal İş İlkesi

Gerilme ve Korunum Yasaları bölümünde türetilen denge denklemi ve sınır koşullarına dayanarak, sürekli ortam mekaniği sınır değer probleminin zayıf formu olan sanal iş ilkesi türetilir. Sonlu eleman ayrıklaştırması bu zayıf formdan başlar. Bu bölüm hem güncel konfigürasyon biçimini (Cauchy gerilmesi ve Almansi geriniminin doğrusal kısmıyla ifade edilen) hem de referans konfigürasyonu biçimini (ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi ve Green-Lagrange gerinimiyle ifade edilen) sunar, bunların eşdeğerliğini gösterir ve ardından küçük deformasyona indirgemeyi doğrular.

Denge Denklemi ve Sınır Koşulları

Sürekli ortama birim kütle başına etki eden cisim kuvveti \(\boldsymbol{g}\) olsun ve güncel konfigürasyonda \(\Omega\) bölgesini kaplayan bir cisim ele alınsın. Sınır \(\Gamma\), yer değiştirmenin \(\bar{\boldsymbol{u}}\) olarak öngörüldüğü geometrik sınır \(\Gamma_B\) ile çekmenin \(\bar{\boldsymbol{t}}\) olarak öngörüldüğü mekanik sınır \(\Gamma_t\) biçiminde ayrılır; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ve \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Statik bir problemde denge denklemi, Gerilme ve Korunum Yasaları bölümünde gösterilen momentum korunumu yasasındaki atalet terimi çıkarılarak elde edilir:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{içinde} \ \Omega \]

Sınır koşulları

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{üzerinde} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{üzerinde} \ \Gamma_B \]

olarak verilir. Bundan sonra sanal iş ilkesi, denge denklemi ile mekanik sınır koşulu \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)'nin zayıf formu olarak türetilir. Geometrik sınır koşulu \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), test fonksiyonunun seçimi aracılığıyla dâhil edilir.

Güncel Konfigürasyondaki Zayıf Form

Zayıf formda bilinmeyen yer değiştirme için kabul edilebilir uzay ile test fonksiyonu uzayı sırasıyla

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{üzerinde} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{üzerinde} \ \Gamma_B \} \]

olarak tanımlanır. Burada \(d\) uzaysal boyuttur, \(H^1(\Omega)\) fonksiyonlarla birlikte birinci zayıf türevleri de karesi integrallenebilir olan Sobolev uzayıdır ve \(\delta\) varyasyonu gösterir. Güncel konfigürasyon gösteriminde \(\Omega\) deforme olmuş konfigürasyondur; gerçek sayısal çözümde referans konfigürasyonuna veya bilinen bir ara konfigürasyona geri çekilir.

Denge denklemi \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ağırlığıyla çarpılıp Gauss diverjans teoremi ve mekanik sınır koşulu uygulandığında, güncel konfigürasyondaki sanal iş ilkesi aşağıdaki gibi olur.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Burada \(\boldsymbol{A}_{(L)}\), Almansi gerinim tensörünün doğrusal kısmıdır ve

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ile tanımlanır. Varyasyonu \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) olur. Dolayısıyla her \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) için sanal iş denklemini sağlayan \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) aranır. Sol taraf iç kuvvetlerin sanal işi, sağ taraf ise öngörülen çekme ve cisim kuvvetinden kaynaklanan dış kuvvetlerin sanal işidir.

Bu denklem deforme olmuş (güncel konfigürasyon) bölge üzerinde yazıldığından, gerçek çözüm prosedürü başlangıç konfigürasyonu \(\Omega_0\)'ı (referans konfigürasyonu) veya bilinen bir ara konfigürasyonu referans konfigürasyonu olarak yeniden seçer, denklemi artımlı biçimde yeniden yazar ve ardından çözer. Referans konfigürasyonunun belirli seçimi (Total Lagrange / Updated Lagrange) ve artımlı ayrıştırma için Artımlı Analiz Çerçevesi bölümüne bakın.

Başlangıç Konfigürasyonundaki Zayıf Form

Referans konfigürasyonunda \(\Omega_0\) bölgesini kaplayan ve sınırı \(\Gamma_0\), \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) olarak ayrılan bir cisim ele alınsın. Güncel konfigürasyon gösterimi referans konfigürasyonuna geri çekildiğinde, eşlenik gerilme-gerinim çifti ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{S}\) ile Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\) olur. Başlangıç konfigürasyonundaki sanal iş ilkesi bu durumda

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

şeklinde yazılabilir. Burada \(\rho_0\), referans konfigürasyonundaki kütle yoğunluğudur ve kütlenin korunumu bağıntısı \(\rho_0 = J\rho\) sayesinde güncel konfigürasyondaki cisim kuvveti gösterimine eşdeğerdir.

Güncel ve Başlangıç Konfigürasyonu Gösterimlerinin Eşdeğerliği

İki gösterimde iç kuvvetlerin sanal işi, deformasyon gradyanı \(\boldsymbol{F}\) ve hacim oranı \(J = \det \boldsymbol{F}\) aracılığıyla yapılan dönüşüm sayesinde aynıdır; yani

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Dış kuvvet terimleri de kütlenin korunumu ve çekme dönüşümü sayesinde eşdeğerdir. Dolayısıyla güncel konfigürasyondaki sanal iş denklemi ile başlangıç konfigürasyonundaki sanal iş denklemi aynı ilkeyi farklı konfigürasyonlarda ifade eder. Referans konfigürasyonuna başvuran çözüm yöntemi Total Lagrange yöntemine, güncel konfigürasyona (hemen önceki yakınsamış konfigürasyona) başvuran çözüm yöntemi ise Updated Lagrange yöntemine karşılık gelir.

Küçük Deformasyona İndirgeme

Küçük deformasyon varsayımları \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ve \(J \approx 1\) altında güncel ve referans konfigürasyonları arasındaki ayrım ortadan kalkar, ikinci PK gerilmesi Cauchy gerilmesiyle aynı olur (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) ve hem Green-Lagrange gerinimi hem de Almansi geriniminin doğrusal kısmı sonsuz küçük gerinim \(\boldsymbol{\varepsilon}\)'a indirgenir.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Sanal iş ilkesi bu durumda Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\) ve sonsuz küçük gerinim \(\boldsymbol{\varepsilon}\) cinsinden ifade edilen zayıf forma indirgenir:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{üzerinde} \ \Gamma_B \]

Bu, küçük deformasyonlu doğrusal elastik statik analizde doğrudan ayrıklaştırma için kullanılan zayıf formdur (Doğrusal Elastik Statik Analiz (Giriş ve Ek), bu formdan başlayarak eleman rijitliği \(\boldsymbol{K}^e\)'nin oluşturulmasından genel denklem \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)'nin birleştirilmesine kadar olan süreci gösterir).

Doğrusal elastik bünye yasası \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) yerine konup Voigt gösteriminde \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) yazıldığında zayıf form

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

biçimini alır.

İlgili Konular