Перейти к содержанию

Принцип виртуальных работ

На основе уравнения равновесия и граничных условий, выведенных в разделе Напряжения и законы сохранения, выводится принцип виртуальных работ, представляющий собой слабую форму краевой задачи механики сплошной среды. Конечно-элементная дискретизация начинается именно с этой слабой формы. В этой главе приведены представление в текущей конфигурации (через напряжение Коши и линейную часть деформации Альманси) и представление в отсчётной конфигурации (через второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа и деформацию Грина—Лагранжа), показана их эквивалентность и затем переход к случаю малых деформаций.

Уравнение равновесия и граничные условия

Пусть \(\boldsymbol{g}\) — объёмная сила, действующая на сплошную среду на единицу массы, а тело в текущей конфигурации занимает область \(\Omega\). Граница \(\Gamma\) разделяется на геометрическую границу \(\Gamma_B\), на которой задано перемещение \(\bar{\boldsymbol{u}}\), и механическую границу \(\Gamma_t\), на которой задан вектор поверхностных сил \(\bar{\boldsymbol{t}}\); при этом \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) и \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Для статической задачи уравнение равновесия получается исключением инерционного члена из закона сохранения количества движения, приведённого в разделе Напряжения и законы сохранения:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{в} \ \Omega \]

Граничные условия имеют вид

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ \Gamma_B \]

Далее принцип виртуальных работ выводится как слабая форма уравнения равновесия и механического граничного условия \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Геометрическое граничное условие \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) учитывается выбором пробной функции.

Слабая форма в текущей конфигурации

В слабой форме допустимое пространство неизвестных перемещений и пространство пробных функций соответственно определяются как

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{на} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{на} \ \Gamma_B \} \]

Здесь \(d\) — пространственная размерность, \(H^1(\Omega)\) — пространство Соболева функций, квадратично интегрируемых вместе со своими первыми слабыми производными, а \(\delta\) обозначает вариацию. В представлении относительно текущей конфигурации \(\Omega\) является деформированной конфигурацией; при фактическом численном решении она отображается обратно в отсчётную конфигурацию либо в известную промежуточную конфигурацию.

Умножая уравнение равновесия на весовую функцию \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) и применяя теорему Гаусса о дивергенции и механическое граничное условие, получаем следующий принцип виртуальных работ в текущей конфигурации.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Здесь \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) — линейная часть тензора деформации Альманси, определяемая выражением

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Её вариация равна \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Таким образом, требуется найти \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), для которого уравнение виртуальных работ выполняется для любого \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Левая часть представляет виртуальную работу внутренних сил, а правая — виртуальную работу внешних сил, обусловленных заданными поверхностными и объёмными силами.

Поскольку это уравнение записано в деформированной области (текущей конфигурации), в фактической процедуре решения в качестве отсчётной конфигурации заново выбирается начальная конфигурация \(\Omega_0\) либо известная промежуточная конфигурация, уравнение переписывается в приращениях и затем решается. Конкретный выбор отсчётной конфигурации (Total Lagrange / Updated Lagrange) и разложение на приращения приведены в разделе Схема инкрементального анализа.

Слабая форма в начальной конфигурации

Рассмотрим тело, занимающее в отсчётной конфигурации область \(\Omega_0\), граница \(\Gamma_0\) которой разделена на \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Обратное отображение представления из текущей конфигурации в отсчётную конфигурацию даёт сопряжённую пару «напряжение—деформация»: второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) и деформацию Грина—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\). Тогда принцип виртуальных работ в начальной конфигурации имеет вид

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Здесь \(\rho_0\) — плотность массы в отсчётной конфигурации; согласно закону сохранения массы \(\rho_0 = J\rho\), поэтому это выражение эквивалентно представлению объёмной силы в текущей конфигурации.

Эквивалентность представлений в текущей и начальной конфигурациях

Виртуальная работа внутренних сил в обоих представлениях совпадает при преобразовании с помощью градиента деформации \(\boldsymbol{F}\) и отношения объёмов \(J = \det \boldsymbol{F}\), то есть

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Члены внешних сил также эквивалентны вследствие сохранения массы и преобразования поверхностных сил. Следовательно, уравнение виртуальных работ в текущей конфигурации и уравнение в начальной конфигурации выражают один и тот же принцип в разных конфигурациях. Метод решения, использующий отсчётную конфигурацию, соответствует методу Total Lagrange, а метод, использующий текущую конфигурацию (непосредственно предшествующую сошедшуюся конфигурацию), — методу Updated Lagrange.

Переход к малым деформациям

При допущениях малых деформаций \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) и \(J \approx 1\) различие между текущей и отсчётной конфигурациями исчезает, второй тензор напряжений PK совпадает с напряжением Коши (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), а деформация Грина—Лагранжа и линейная часть деформации Альманси переходят в тензор малых деформаций \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Тогда принцип виртуальных работ сводится к слабой форме, выраженной через напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и малую деформацию \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ \Gamma_B \]

Это слабая форма, непосредственно используемая для дискретизации при статическом линейно-упругом анализе малых деформаций (раздел Линейный упругий статический анализ (введение и приложение) начинает с этой формы и показывает построение элементной матрицы жёсткости \(\boldsymbol{K}^e\) посредством сборки глобального уравнения \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Подставляя линейно-упругий определяющий закон \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) и записывая \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) в обозначениях Фойгта, получаем слабую форму

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

имеющую такой вид.

Связанные темы