Верификация на моделях простой геометрии¶

Упругий статический анализ¶

В данной верификации рассматривается консольная балка с конечно-элементной сеткой, показанной на рис. 9.1.1. В качестве условий верификации выполнен анализ семи случаев exA–exG с различными условиями нагружения, показанными на рис. 9.1.2. Случай exG имеет те же условия нагружения, что и exA, но используется решатель прямым методом.

Результаты верификации для каждого случая приведены в табл. 9.1.1–9.1.7.

Рис. 9.1.1　Пример конечно-элементной сетки консольной балки (шестигранные элементы)


	(a) exA,G：сосредоточенная нагрузка
	(b) exD：гравитация
	(c) exB：распределённая поверхностная нагрузка
	(d) exE：центробежная сила
	(e) exC：объёмная нагрузка
	(f) exF：тепловая нагрузка

Параметр	Значение
Модуль Юнга	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Длина	\(L = 10.0\ mm\)
Коэффициент Пуассона	\(\nu = 0.3\)
Площадь поперечного сечения	\(A = 1.0\ mm^2\)
Массовая плотность	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Второй момент площади	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Ускорение свободного падения	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Коэффициент линейного теплового расширения	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Таблица 9.1.2 Условия верификации модели консольной балки

Таблица 9.1.1　exA：Результаты верификации задачи с сосредоточенной нагрузкой

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：\(\delta_{max}= -1.000\)		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 узлов
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 узлов
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 узлов
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 узлов
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 узлов
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 узлов
A731	40	-	-	-0.991	33 узлов / прямой метод
A741	20	-	-	-0.996	33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.2　exB：Результаты верификации задачи с распределённой поверхностной нагрузкой

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：\(\delta_{max}= -3.750\)		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 узлов
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 узлов
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 узлов
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 узлов
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 узлов
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 узлов
B731	40	-	-	-3.722	33 узлов / прямой метод
B741	20	-	-	-3.743	33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.3　exC：Результаты верификации задачи с объёмной нагрузкой

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：\(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 узлов
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 узлов
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 узлов
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 узлов
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 узлов
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 узлов
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 узлов / прямой метод
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.4　exD：Результаты верификации задачи гравитационного нагружения

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：\(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 узлов
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 узлов
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 узлов
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 узлов
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 узлов
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 узлов
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 узлов / прямой метод
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.5　exE：Результаты верификации задачи с центробежной силой

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：\(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 узлов
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 узлов
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 узлов
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 узлов
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 узлов
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 узлов
E731	40	-	-	2.619e-3	33 узлов / прямой метод
E741	20	-	-	2.622e-3	33 узлов / прямой метод

Таблица 9.1.6　exF：Результаты верификации задачи с термической нагрузкой

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：\(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 узлов
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 узлов
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 узлов
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 узлов
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 узлов
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 узлов

Таблица 9.1.7　exG：Результаты верификации прямого метода (задача с сосредоточенной нагрузкой)

Имя случая	Число элементов		Расчётное значение：δmax= -1.000		Примечание
		NASTRAN	Коммерческое ПО	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 узлов
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 узлов
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 узлов
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 узлов
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 узлов
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 узлов
G731	40	-	-	-0.991	33 узлов / прямой метод
G741	20	-	-	-0.996	33 узлов / прямой метод

Нелинейный статический анализ¶

(2-1) exnl1: Геометрически нелинейный анализ¶

Модель верификационного случая exI идентична моделям случаев exA–exG. Схематическое изображение верификационной модели показано на рис. 9.1.3. Для этой модели выполняется геометрически нелинейный анализ. Результаты верификации приведены в табл. 9.1.8.

Нелинейный расчёт выполняется за 10 шагов с приращением нагрузки 0.1P до конечной нагрузки 1.0P.

Рис. 9.1.3　Верификационная модель

Таблица 9.1.8　exI：Результаты верификации (история максимального прогиба)

Имя случая	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Линейное решение
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) 　exnl2: Анализ упругопластической деформации¶

Данная верификационная задача основана на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 from NAFEMS, и представляет собой анализ упругопластической деформации с учётом геометрической нелинейности и нескольких законов упрочнения. Расчётная модель показана на рис. 9.1.4.

Модель анализа упругопластической деформации

Рис.9.1.4　Модель анализа упругопластической деформации

（1） Условия верификации

Параметр	Значение
Материал	упругопластический материал Мизеса
Модуль Юнга	\(E = 250 GPa\)
Коэффициент Пуассона	\(\nu=0.25\)
Начальное напряжение текучести	\(5 MPa\)
Начальная деформация текучести	\(0.25\times10^{-4}\)
Коэффициент изотропного упрочнения	\(H_i = 0\) или \(62.5 GPa\)

（2） Граничные условия

Параметр	Граничное условие	Значение
Шаг 1	Заданное перемещение узлов 2 и 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Шаг 2	Заданное перемещение узлов 2 и 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 3	Заданное перемещение узлов 3 и 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Шаг 4	Заданное перемещение узлов 3 и 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 5	Заданное перемещение узлов 2 и 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 6	Заданное перемещение узлов 2 и 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Шаг 7	Заданное перемещение узлов 3 и 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Шаг 8	Заданное перемещение узлов 3 и 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Все не указанные здесь узлы полностью закреплены. Теоретическое решение этой задачи имеет следующий вид.

Деформация (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Эквивалентное напряжение(\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Соответствующие результаты расчёта приведены ниже.

Деформация (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Эквивалентное напряжение(\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Контактный анализ (1)¶

Данная верификационная задача основана на контактном patch-тесте CGS-4 организации National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) и проверяет возможность расчёта контактной задачи с конечным скольжением при наличии трения. Расчётная модель показана на рис. 9.1.5.

Модель контактного анализа

Рис.9.1.5　Модель контактного анализа

Условие равновесия для этой задачи имеет следующий вид.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

На стадии сцепления сила трения равна [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] а на стадии скольжения [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] получаем.

Сравнение результатов расчёта с аналитическим решением приведено ниже.

\(\mu\)	\(F/G\)Аналитическое решение	\(F/G\)Результат расчёта
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Контактный анализ (2): контактная задача Герца¶

В данной верификации рассматривается контактная задача Герца для бесконечно длинного цилиндра и бесконечной плоскости. Радиус цилиндра принят равным R=8mm, а модуль Юнга E и коэффициент Пуассона µ деформируемого тела равны соответственно 1100Mpa и 0.0. Предполагается также, что площадь контакта достаточно мала по сравнению с радиусом цилиндра; с учётом симметрии задачи анализ выполняется на четверти модели цилиндра.

Рис.9.1.6　Расчётная модель контактной задачи Герца

（1） Результаты верификации радиуса контакта¶

Теоретическая формула для вычисления радиуса контакта имеет следующий вид.

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

где [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] соответственно. При данных условиях расчёта при давлении \(F=100\) радиус контакта составляет \(a=1.36\).

На рис. 9.1.7 показаны эквивалентные узловые силы в точках контакта. Радиус контакта определяется экстраполяцией распределения этих узловых сил.

Распределение эквивалентных узловых сил в точках контакта

Рис.9.1.7　Распределение эквивалентных узловых сил в точках контакта

（2） Результаты верификации максимального касательного напряжения¶

В теоретическом решении в положении контакта [ z = 0.78a ] максимальное касательное напряжение равно [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] соответственно. При данных условиях расчёта [ \tau_{\max} = 14.2 ] получаем. В то же время расчёт даёт [ \tau_{\max} = 15.6 ] в качестве результата расчёта.

Рис.9.1.8　Распределение касательного напряжения (максимальное значение=15.6）

(3) Модальный анализ¶

Верификационные модели случаев exJ–exK идентичны моделям случаев exA–exG. Схематическое изображение верификационной модели показано на рис. 9.1.9. Для этой модели выполняется анализ собственных значений. Определяются собственные значения с первого по третье. В exJ используется итерационный решатель, а в exK — решатель прямым методом. Результаты верификации приведены в табл. 9.1.9–9.1.12.

Рис. 9.1.9　Верификационная модель

Собственные частоты колебаний консольной балки определяются следующими формулами.

Первая форма [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Вторая форма [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Третья форма [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Характеристики верификационной модели:

Параметр	Значение
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Следовательно, собственные значения до третьей формы имеют следующий вид.

Номер формы	Значение
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Таблица 9.1.9　exJ：Результаты верификации итерационного метода (первое собственное значение)

Имя случая	Число элементов	Расчётное значение：n1=3.609e3		Примечание
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 узлов
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 узлов
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 узлов
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 узлов
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 узлов
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 узлов

Таблица 9.1.10　exJ：Результаты верификации итерационного метода (второе собственное значение)

Имя случая	Число элементов	Расчётное значение：n2=2.262e4		Примечание
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 узлов
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 узлов
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 узлов
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 узлов
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 узлов
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 узлов

Примечание: в трёхмерных моделях первая и вторая формы образуют кратный корень, поэтому в качестве значения второй формы в таблице приведено вычисленное значение третьей формы.

Таблица 9.1.11　exK：Результаты верификации прямого метода (первое собственное значение)

Имя случая	Число элементов	Расчётное значение：n1=3.609e3		Примечание
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 узлов
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 узлов
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 узлов
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 узлов
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 узлов
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 узлов
J731	40	-	3.606e3	220 узлов
J741	20	-	3.594e3	220 узлов

Таблица 9.1.12　exK：Результаты верификации прямого метода (второе собственное значение)

Имя случая	Число элементов	Расчётное значение：n2=2.262e4		Примечание
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 узлов / задача плоского напряжённого состояния
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 узлов
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 узлов
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 узлов
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 узлов
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 узлов
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 узлов
J731	40	-	2.156e4	220 узлов
J741	20	-	2.153e4	220 узлов

(4) Анализ теплопроводности¶

Общие условия стационарного анализа теплопроводности показаны на рис. 9.1.10. Индивидуальные условия верификационных случаев exM–exT показаны на рис. 9.1.11. Используется конечно-элементная сетка, эквивалентная сетке случая exA.

В табл. 9.1.13–9.1.20 для каждого случая приведены таблицы распределения температуры как результаты верификации.

Анализ теплопроводности


Длина AB	\(L = 10.0m\)
Площадь поперечного сечения	\(A = 1.0 mm^2\)

Температурная зависимость теплопроводности

Теплопроводность \(\lambda(W/mK)\)	Температура \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Рис. 9.1.10　Условия верификации стационарного анализа теплопроводности


exM:Линейный материал
exN:Задача с заданной температурой
exO:Задача с сосредоточенным тепловым потоком
exP:Задача с распределённым тепловым потоком
exQ:Задача конвективного теплообмена
exR:Задача лучистого теплообмена
exS:Задача объёмного тепловыделения
exT:Задача с внутренним зазором

Рис. 9.1.11　Условия анализа для каждого верификационного случая

Таблица 9.1.13　exM：Результаты верификации стационарного расчёта для линейного материала

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Таблица 9.1.14　exN：Результаты верификации задачи с заданной температурой

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Таблица 9.1.15　exO：Результаты верификации задачи с сосредоточенным тепловым потоком

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Таблица 9.1.16　exP：Результаты верификации задачи с распределённым тепловым потоком

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Таблица 9.1.17　exQ：Результаты верификации задачи конвективного теплообмена

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Таблица 9.1.18　exR：Результаты верификации задачи лучистого теплообмена

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Таблица 9.1.19　exS：Результаты верификации задачи объёмного тепловыделения

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Таблица 9.1.20　exT：Результаты верификации задачи с внутренним зазором

Имя случая	Тип элемента	Число элементов/узлов	Расстояние от конца A (м)
			Конец A	2.0	4.0	6.0	8,0	Конец B
Коммерческое ПО	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Линейный динамический анализ¶

В случае exW линейный динамический анализ выполнен для той же консольной балки, что и в разделе (1). Условия верификации показаны на рис. 9.1.12. Здесь проверяется влияние шага по времени на результат при одной и той же конечно-элементной сетке. Для динамического анализа используются как неявный, так и явный методы, с типами элементов 361 и 342. Результаты верификации приведены в табл. 9.1.22 и на рис. 9.1.13–9.1.15.

Расчётная модель

Временная история внешней силы F

Теоретическое решение для перемещения точки возбуждения:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

где

\[ F_0:Постоянный\ вектор \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Рис. 9.1.12　Условия верификации линейного динамического анализа

Условия верификации:


Длина	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Ширина поперечного сечения	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Высота поперечного сечения	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Модуль Юнга	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Коэффициент Пуассона	\(\nu\)	\(0.3\)
Плотность	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Ускорение свободного падения	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Внешняя сила	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)


Элемент	Линейный шестигранный элемент
Квадратичный тетраэдральный элемент
Метод решения	Неявный метод
Параметр метода Newmark-\(\beta\)\(\gamma\)	1/2
Параметр метода Newmark-\(\beta\)\(\beta\)	1/4
Явный метод
Демпфирование	Нет

Таблица 9.1.21　Условия верификации линейного динамического анализа (продолжение)

Имя случая	Тип элемента	Число узлов	Число элементов	Метод решения	Шаг по времени \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Неявный метод	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Неявный метод	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Неявный метод	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Неявный метод	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Неявный метод	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Неявный метод	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Явный метод	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Явный метод	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Явный метод	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Явный метод	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Явный метод	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Явный метод	1.0E-07

Таблица 9.1.22　exW：Результаты верификации линейного динамического анализа консольной балки

Имя случая	Тип элемента	Число узлов	Число элементов	Метод решения	Перемещение в направлении z в момент t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Неявный метод	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Неявный метод	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Неявный метод	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Неявный метод	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Неявный метод	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Неявный метод	1.9753	Расходимость
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Явный метод	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Явный метод	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Явный метод	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Явный метод	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Явный метод	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Явный метод	1.9753	Расходимость

Деформированная форма консольной балки и распределение эквивалентных напряжений

Рис. 9.1.13　Деформированная форма консольной балки и распределение эквивалентных напряжений

(a) Тип элемента 361:Неявный метод

(b) Тип элемента 361:Явный метод

Рис.9.1.14 Временная история перемещения \(u_z\) точки возбуждения

(a) Тип элемента 342:Неявный метод

(b) Тип элемента 342:Явный метод

Рис. 9.1.14　Временная история перемещения \(u_z\) точки возбуждения

Анализ частотного отклика¶

В данной верификации для консольной балки выполнен анализ частотного отклика, результаты которого сравниваются с результатами универсального коммерческого ПО. Ниже приведены расчётная модель и условия верификации.

Условия анализа:


Модуль Юнга	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Коэффициент Пуассона	\(\nu\)	\(0.3\)
Плотность	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Ускорение свободного падения	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Нагрузка	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Параметр демпфирования Рэлея	\(R_m\)	\(0.0\)
Параметр демпфирования Рэлея	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Рис. 9.1.15　Расчётная модель (линейные тетраэдральные элементы; 126 элементов, 55 узлов)

Ниже приведены собственные значения до пятой формы, полученные из анализа собственных значений, и частотный отклик в точке возбуждения.

Форма	FrontISTR	Коммерческое ПО
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Частотная зависимость амплитуды перемещения в точке возбуждения

Рис. 9.1.16　Частотная зависимость амплитуды перемещения в точке возбуждения