Verifica mediante modello di forma semplice

Analisi statica elastica

Questa verifica utilizza una trave a mensola discretizzata come mostrato nella Figura 9.1.1. Sono state eseguite analisi per sette casi, da exA a exG, variando le condizioni di carico come mostrato nella Figura 9.1.2. Il caso exG ha le stesse condizioni di carico di exA, ma utilizza un solver diretto.

I risultati della verifica per ciascuna condizione di carico sono riportati nelle Tabelle 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Esempio di mesh della trave a mensola (elementi esaedrici)

	(a) exA, G: Carico concentrato
	(b) exD: Gravità
	(c) exB: Carico distribuito sulla superficie
	(d) exE: Forza centrifuga
	(e) exC: Carico volumetrico
	(f) exF : Carico termico

Voce	Valore
Modulo di Young	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Lunghezza	\(L = 10.0\ mm\)
Coefficiente di Poisson	\(\nu = 0.3\)
Area della sezione	\(A = 1.0\ mm^2\)
Densità di massa	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Momento d'inerzia della sezione	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Accelerazione di gravità	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Coefficiente lineare di dilatazione termica	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabella 9.1.2 Condizioni di verifica del modello a trave a mensola

Tabella 9.1.1: exA: Risultati della verifica del problema con carico concentrato

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico : \(\delta_{max}= -1.000\)		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nodi / problema in stato di tensione piana
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nodi / problema in stato di tensione piana
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nodi / problema in stato di tensione piana
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nodi / problema in stato di tensione piana
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nodi
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nodi
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nodi
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nodi
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nodi
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nodi
A731	40	-	-	-0.991	33 nodi / metodo diretto
A741	20	-	-	-0.996	33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.2: exB: Risultati della verifica del problema con carico distribuito sulla superficie

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico : \(\delta_{max}= -3.750\)		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 nodi / problema in stato di tensione piana
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 nodi / problema in stato di tensione piana
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 nodi / problema in stato di tensione piana
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 nodi / problema in stato di tensione piana
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 nodi
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 nodi
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 nodi
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 nodi
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 nodi
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 nodi
B731	40	-	-	-3.722	33 nodi / metodo diretto
B741	20	-	-	-3.743	33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.3: exC: Risultati della verifica del problema con carico volumetrico

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nodi / problema di tensione piana
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nodi / problema di tensione piana
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nodi / problema di tensione piana
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nodi / problema di tensione piana
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nodi
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nodi
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nodi
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nodi
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nodi
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nodi
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 nodi / metodo diretto
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.4: exD: Risultati della verifica del problema gravitazionale

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nodi / problema in stato di tensione piana
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nodi / problema in stato di tensione piana
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nodi / problema in stato di tensione piana
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nodi / problema in stato di tensione piana
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nodi
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nodi
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nodi
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nodi
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nodi
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nodi
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 nodi / metodo diretto
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.5: exE: Risultati della verifica del problema con forza centrifuga

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico : \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 nodi / problema in stato di tensione piana
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 nodi / problema in stato di tensione piana
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 nodi / problema in stato di tensione piana
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 nodi / problema in stato di tensione piana
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 nodi
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 nodi
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 nodi
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 nodi
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 nodi
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 nodi
E731	40	-	-	2.619e-3	33 nodi / metodo diretto
E741	20	-	-	2.622e-3	33 nodi / metodo diretto

Tabella 9.1.6: exF: Risultati della verifica del problema con carico da tensione termica

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico : \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 nodi / problema in stato di tensione piana
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 nodi / problema in stato di tensione piana
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 nodi / problema in stato di tensione piana
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 nodi / problema in stato di tensione piana
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 nodi
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 nodi
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 nodi
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 nodi
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 nodi
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 nodi

Tabella 9.1.7: exG: Risultati della verifica del metodo diretto (problema con carico concentrato)

Nome caso	Numero di elementi		Valore teorico: δmax= -1.000		Note
		NASTRAN	Software commerciale	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nodi / problema in stato di tensione piana
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nodi / problema in stato di tensione piana
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nodi / problema in stato di tensione piana
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nodi / problema in stato di tensione piana
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nodi
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nodi
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nodi
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nodi
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nodi
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nodi
G731	40	-	-	-0.991	33 nodi / metodo diretto
G741	20	-	-	-0.996	33 nodi / metodo diretto

Analisi statica non lineare

(2-1) exnl1: Analisi geometricamente non lineare

Il modello di verifica del caso exI è identico ai modelli dei casi da exA a exG. La Figura 9.1.3 mostra uno schema del modello di verifica. Su questo modello viene eseguita un'analisi geometricamente non lineare. I risultati della verifica sono riportati nella Tabella 9.1.8.

Il calcolo non lineare utilizza 10 passi di carico con un incremento di carico pari a 0.1P fino al carico finale di 1.0P.

Fig. 9.1.3 Modello di verifica

Tabella 9.1.8 exI: Risultati della verifica (storia della freccia massima)

Nome caso	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Soluzione lineare
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Analisi della deformazione elastoplastica

Questo problema di verifica è basato sul Test NL1 della National Agency for Finite Element Methods and Standards (Regno Unito), NAFEMS, ed esegue un'analisi della deformazione elastoplastica che include la non linearità geometrica e più leggi di incrudimento. La Figura 9.1.4 mostra il modello di analisi.

Fig. 9.1.4 Modello di analisi della deformazione elastoplastica

(1) Condizioni di verifica

Voce	Valore
Materiale	Materiale elastoplastico di von Mises
Modulo di Young	\(E = 250 GPa\)
Coefficiente di Poisson	\(\nu=0.25\)
Tensione di snervamento iniziale	\(5 MPa\)
Deformazione di snervamento iniziale	\(0.25\times10^{-4}\)
Coefficiente di incrudimento isotropo	\(H_i = 0\) oppure \(62.5 GPa\)

(2) Condizioni al contorno

Voce	Condizione al contorno	Valore
Passo 1	Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 2	Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 3	Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 4	Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 5	Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 6	Spostamento prescritto ai nodi 2 e 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Passo 7	Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Passo 8	Spostamento prescritto ai nodi 3 e 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Tutti i nodi non elencati qui sono completamente vincolati. La soluzione teorica di questo problema è la seguente.

Deformazione (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensione equivalente (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

A confronto, i risultati del calcolo sono i seguenti.

Deformazione (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Tensione equivalente (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analisi di contatto (1)

Questo problema di verifica è basato sul problema di test della patch di contatto CGS-4 della National Agency for Finite Element Methods and Standards (Regno Unito), e verifica la capacità di contatto con scorrimento finito in presenza di attrito. La Figura 9.1.5 mostra il modello di analisi.

Fig. 9.1.5 Modello di analisi del contatto

La condizione di equilibrio per questo problema è la seguente.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

Nella fase di attrito aderente, la forza di attrito è [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] mentre nella fase di attrito con scorrimento è [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Il confronto tra i risultati del calcolo e la soluzione analitica è il seguente.

\(\mu\)	\(F/G\) Soluzione analitica	\(F/G\) Risultati del calcolo
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Analisi di contatto (2): problema di contatto di Hertz

Questa verifica analizza il problema di contatto di Hertz tra un cilindro infinitamente lungo e un piano infinito. Il raggio del cilindro è R=8mm e il modulo di Young E e il coefficiente di Poisson µ del corpo deformabile sono rispettivamente 1100Mpa e 0.0. Si assume che l'area di contatto sia sufficientemente piccola rispetto al raggio del cilindro e, considerando la simmetria del problema, viene analizzato un modello di un quarto di cilindro.

Fig. 9.1.6 Modello di analisi per il problema di contatto di Hertz

(1) Risultati della verifica del raggio di contatto

La formula teorica per calcolare il raggio di contatto è la seguente:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

dove [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Nelle presenti condizioni di calcolo, quando la pressione è \(F=100\), il raggio di contatto è \(a=1.36\).

La Figura 9.1.7 mostra le forze nodali equivalenti nei punti di contatto. Il raggio di contatto si ottiene estrapolando questa distribuzione delle forze nodali.

Fig. 9.1.7 Distribuzione delle forze nodali equivalenti nei punti di contatto

(2) Risultati della verifica della tensione di taglio massima

Nella soluzione teorica, nella posizione di contatto [ z = 0.78a ] la tensione di taglio massima è [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Nelle presenti condizioni di calcolo, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . A confronto, il calcolo fornisce [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Fig. 9.1.8 Distribuzione della tensione di taglio (valore massimo = 15.6)

(3) Analisi modale

I modelli di verifica dei casi exJ ed exK sono identici ai modelli dei casi da exA a exG. La Figura 9.1.9 mostra uno schema del modello di verifica. Su questo modello viene eseguita un'analisi modale. Vengono calcolati gli autovalori dal primo al terzo. Il caso exJ utilizza un solver iterativo, mentre il caso exK utilizza un solver diretto. I risultati della verifica sono riportati nelle Tabelle 9.1.9–9.1.12.

Fig. 9.1.9 Modello di verifica

Le frequenze naturali della trave a mensola sono ottenute dalle seguenti equazioni.

Primo modo [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Secondo modo [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Terzo modo [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

I valori delle proprietà del modello di verifica sono

Voce	Valore
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Pertanto, gli autovalori fino al terzo modo sono i seguenti:

Numero del modo	Valore
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabella 9.1.9: exJ: Risultati della verifica del metodo iterativo per il primo autovalore

Nome caso	Numero di elementi	Valore teorico : n1=3.609e3		Note
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nodi / problema in stato di tensione piana
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nodi / problema in stato di tensione piana
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nodi
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nodi
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nodi
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nodi
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nodi
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nodi

Tabella 9.1.10: Risultati della verifica del metodo iterativo di exJ per il secondo autovalore

Nome caso	Numero di elementi	Valore teorico : n2=2.262e4		Note
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nodi / problema in stato di tensione piana
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nodi / problema in stato di tensione piana
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nodi
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nodi
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nodi
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nodi
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nodi
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nodi

Nota: nei modelli tridimensionali (3D), il primo e il secondo valore hanno radici uguali. Pertanto, il secondo valore nella tabella rappresenta il terzo valore calcolato.

Tabella 9.1.11: Risultati della verifica del metodo diretto di exK per il primo autovalore

Nome caso	Numero di elementi	Valore teorico : n1=3.609e3		Note
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nodi / problema in stato di tensione piana
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nodi / problema in stato di tensione piana
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nodi
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nodi
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nodi
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nodi
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nodi
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nodi
J731	40	-	3.606e3	220 nodi
J741	20	-	3.594e3	220 nodi

Tabella 9.1.12: Risultati della verifica del metodo diretto di exK per il secondo autovalore

Nome caso	Numero di elementi	Valore teorico : n2=2.262e4		Note
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nodi / problema in stato di tensione piana
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nodi / problema in stato di tensione piana
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nodi / problema in stato di tensione piana
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nodi
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nodi
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nodi
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nodi
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nodi
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nodi
J731	40	-	2.156e4	220 nodi
J741	20	-	2.153e4	220 nodi

Nota: nei modelli 3D, il primo e il secondo valore hanno radici uguali. Pertanto, il secondo valore nella tabella rappresenta il terzo valore calcolato.

(4) Analisi di conduzione termica

Le condizioni comuni per le analisi di conduzione termica stazionaria sono mostrate nella Figura 9.1.10. Le condizioni individuali per i casi di verifica da exM a exT sono mostrate nella Figura 9.1.11. La suddivisione della mesh è equivalente a quella utilizzata per exA.

I risultati della verifica (tabella della distribuzione di temperatura) di ciascun caso sono riportati nelle Tabelle 9.1.13–9.1.20.

Lunghezza tra A e B	\(L = 10.0m\)
Area della sezione trasversale	\(A = 1.0 mm^2\)

Dipendenza dalla temperatura della conducibilità termica

Conducibilità termica \(\lambda(W/mK)\)	Temperatura \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Fig. 9.1.10: Condizioni di verifica dell'analisi di conduzione termica stazionaria

exM: Materiale lineare
exN: Problema di temperatura prescritta
exO: Problema di flusso termico concentrato
exP: Problema di flusso termico distribuito
exQ: Problema di scambio termico convettivo
exR: Problema di scambio termico per irraggiamento
exS: Problema di generazione volumetrica di calore
exT: Problema di gap interno

Fig. 9.1.11: Condizioni di analisi per ciascun caso di verifica

Tabella 9.1.13: Risultati della verifica di exM (calcolo stazionario con materiale lineare)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabella 9.1.14: Risultati della verifica di exN (problema di temperatura prescritta)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabella 9.1.15: Risultati della verifica di exO (problema di flusso termico concentrato)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabella 9.1.16: Risultati della verifica di exP (problema di flusso termico distribuito)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabella 9.1.17: Risultati della verifica di exQ (problema di scambio termico convettivo)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabella 9.1.18: Risultati della verifica di exR (problema di scambio termico per irraggiamento)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabella 9.1.19: Risultati della verifica di exS (problema di generazione volumetrica di calore)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabella 9.1.20: Risultati della verifica di exT (problema di gap interno)

Nome caso	Tipo di elemento	Elementi/nodi	Distanza dall’estremità A (m)
			Estremità A	2.0	4.0	6.0	8,0	Estremità B
Software commerciale	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Analisi dinamica lineare

In exW viene eseguita un'analisi dinamica lineare sulla stessa trave a mensola dell'elemento (1). La Figura 9.1.12 mostra le condizioni di verifica. Per la stessa suddivisione della mesh viene verificato l'effetto dell'incremento temporale sui risultati. Vengono utilizzati sia il metodo di integrazione temporale implicito sia quello esplicito, con i tipi di elemento 361 e 342. I risultati della verifica sono riportati nella Tabella 9.1.22 e nelle Figure 9.1.13–9.1.15.

Modello di analisi

Andamento temporale della forza esterna F

La soluzione teorica per lo spostamento del punto di eccitazione è la seguente:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

dove

\[ F_0:Vettore\ costante \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Fig. 9.1.12: Condizioni di verifica dell'analisi dinamica lineare

Condizioni di verifica:

Lunghezza	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Larghezza della sezione trasversale	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Altezza della sezione trasversale	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Modulo di Young	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Coefficiente di Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densità	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Accelerazione di gravità	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Forza esterna	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

Elemento	Elemento esaedrico lineare
Elemento tetraedrico di secondo ordine
Metodo di soluzione	Metodo implicito
Metodo Newmark-\(\beta\), parametro \(\gamma\)	1/2
Metodo Newmark-\(\beta\), parametro \(\beta\)	1/4
Metodo esplicito
Smorzamento	Nessuno

Tabella 9.1.21: Condizioni di verifica dell'analisi dinamica lineare (continua)

Nome caso	Tipo di elemento	N. di nodi	N. di elementi	Metodo di soluzione	Incremento temporale \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Metodo implicito	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Metodo implicito	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Metodo implicito	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Metodo implicito	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Metodo implicito	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Metodo implicito	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Metodo esplicito	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Metodo esplicito	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Metodo esplicito	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Metodo esplicito	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Metodo esplicito	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Metodo esplicito	1.0E-07

Tabella 9.1.22: Risultati della verifica dell'analisi dinamica lineare di exW (trave a mensola)

Nome caso	Tipo di elemento	Numero di nodi	Numero di elementi	Metodo	Spostamento in direzione z al tempo t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Metodo implicito	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Metodo implicito	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Metodo implicito	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Metodo implicito	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Metodo implicito	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Metodo implicito	1.9753	Divergente
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Metodo esplicito	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Metodo esplicito	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Metodo esplicito	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Metodo esplicito	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Metodo esplicito	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Metodo esplicito	1.9753	Divergente

Fig. 9.1.13: Diagramma di deformazione e distribuzione della tensione equivalente della trave a mensola

(a) Tipo di elemento 361: metodo implicito

(b) Tipo di elemento 361: metodo esplicito

Fig. 9.1.14 Andamento temporale dello spostamento del punto di eccitazione \(u_z\)

(a) Tipo di elemento 342: metodo implicito

(b) Tipo di elemento 342: metodo esplicito

Fig. 9.1.14: Andamento temporale dello spostamento del punto di eccitazione \(u_z\)

Analisi di risposta in frequenza

In questa verifica viene eseguita un'analisi di risposta in frequenza su una trave a mensola e la validazione viene effettuata confrontando i risultati con quelli di un solver commerciale generico. Di seguito sono mostrati il modello di analisi e le condizioni di verifica.

Condizioni di analisi:

Modulo di Young	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Coefficiente di Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Densità	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Accelerazione di gravità	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Carico	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Parametro dello smorzamento di Rayleigh	\(R_m\)	\(0.0\)
Parametro dello smorzamento di Rayleigh	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Fig. 9.1.15: Modello di analisi (elemento tetraedrico di primo ordine (126 elementi e 55 nodi))

Di seguito sono riportati gli autovalori fino al quinto ordine e la risposta in frequenza del punto di eccitazione ottenuti dall'analisi modale:

modo	FrontISTR	Software commerciale
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Fig. 9.1.16: Dipendenza dalla frequenza dell'ampiezza dello spostamento del punto di eccitazione