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Equazione della conduzione termica

Questo capitolo riassume, a livello continuo, l'equazione di governo della conduzione termica trattata da FrontISTR e le relative condizioni al contorno. La discretizzazione temporale e la discretizzazione FEM sono trattate rispettivamente nella sezione sulla discretizzazione (L3d) e nella sezione sugli algoritmi di soluzione (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Equazione di governo

L'equazione della conduzione termica in un continuo è espressa come segue.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Qui, \(\rho=\rho(x)\) indica la densità di massa, \(c=c(x,T)\) il calore specifico, \(T=T(x,t)\) la temperatura, \(k=k(x,T)\) la conducibilità termica, \(Q=Q(x,T,t)\) la generazione di calore, \(x\) la posizione e \(t\) il tempo. \(k_x, k_y, k_z\) sono le conducibilità termiche nelle rispettive direzioni nel caso di conduzione termica anisotropa.

Per le proprietà termiche specifiche, inclusa la dipendenza dalla temperatura e l'anisotropia, vedere Proprietà termiche.

Condizioni al contorno

Sia \(S\) il dominio considerato e sia \(\Gamma\) il suo contorno. Supponendo che in ogni punto di \(\Gamma\) sia prescritta una condizione al contorno di tipo Dirichlet oppure di tipo Neumann, le condizioni al contorno sono date come segue.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Si assume che le forme funzionali di \(T_1\) e \(q\) siano note. \(q\) è il flusso termico uscente dal contorno. Il flusso termico al contorno \(q\) è costituito dai tre componenti seguenti.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Qui, \(q_s\) è il flusso termico distribuito, \(q_c\) è il flusso termico dovuto allo scambio termico convettivo e \(q_r\) è il flusso termico dovuto allo scambio termico radiativo.

Inoltre, \(Tc=Tc(x,t)\) è la temperatura ambiente per lo scambio termico convettivo, \(hc=hc(x,t)\) è il coefficiente di scambio termico convettivo, \(Tr=Tr(x,t)\) è la temperatura ambiente per lo scambio termico radiativo, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) è il coefficiente di scambio termico radiativo, \(\varepsilon\) è l'emissività, \(\sigma\) è la costante di Stefan-Boltzmann e \(F\) è il fattore di vista.

Per le modalità di specifica di queste condizioni in un file di input, vedere Condizioni al contorno e carichi nel riferimento delle funzioni.

Forma debole

Accoppiamento con l'analisi strutturale

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