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Elasticità lineare

Questo capitolo tratta la legge costitutiva (legge di Hooke) dei materiali elastici lineari. Per i dettagli sulla scelta del modello e sulle specifiche di input, vedere la sezione delle funzioni 03_material.

Fenomeno (risposta elastica lineare)

Un corpo elastico lineare è un materiale che, nell’intervallo in cui la deformazione sotto carico è sufficientemente piccola, presenta una relazione lineare tra tensione e deformazione e una risposta reversibile e indipendente dalla storia, nella quale tutta la deformazione ritorna allo stato originario allo scarico. A differenza della plasticità o del creep, non possiede variabili interne che rappresentano lo stato (come deformazione plastica o deformazione viscosa) e la tensione è determinata univocamente dalla sola deformazione corrente.

Nel regime di piccole deformazioni si usano la tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e la deformazione infinitesima \(\boldsymbol{\varepsilon}\); nel regime di deformazioni finite (problemi che includono grandi rotazioni ma in cui la deformazione stessa è piccola) si usano la seconda tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e la deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (materiale St.Venant-Kirchhoff).

Legge costitutiva

Materiale elastico lineare isotropo

Nel regime di piccole deformazioni, la legge isotropa di Hooke è espressa mediante le costanti di Lamé \(\lambda, \mu\) come

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

In forma per componenti,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

e la doppia contrazione con la deformazione fornisce \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Le costanti di Lamé sono legate al modulo di Young \(E\) e al coefficiente di Poisson \(\nu\) come segue:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Nella notazione di Voigt, la relazione tra il vettore delle deformazioni \(\hat{\varepsilon}\) e il vettore delle tensioni \(\hat{\sigma}\) si scrive \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), e la matrice del materiale tridimensionale \(D\) è

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Questa rappresentazione matriciale è utilizzata nell’implementazione.

Materiale elastico lineare ortotropo

Per materiali le cui costanti elastiche differiscono a seconda della direzione degli assi principali, si adotta un modello ortotropo con nove costanti indipendenti: moduli di Young nelle direzioni principali \(E_1, E_2, E_3\), coefficienti di Poisson tra gli assi principali \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) e moduli di taglio \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Per la forma esplicita della matrice \(D\), si rimanda ai riferimenti standard.

Regime di deformazioni finite: materiale St.Venant-Kirchhoff

Per problemi che includono grandi rotazioni ma in cui la deformazione stessa è piccola, si usa il materiale St.Venant-Kirchhoff come legge elastica lineare che mette in relazione la seconda tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e la deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Le definizioni delle costanti di Lamé \(\lambda, \mu\) sono le stesse del caso di piccole deformazioni. Si noti tuttavia che, poiché cambia la coppia di definizioni tensione-deformazione, questa è una legge costitutiva diversa dalla legge di Hooke per piccole deformazioni.

Materiale ipoelastico

Nel metodo Updated Lagrange si usa un materiale ipoelastico che adotta la legge elastica lineare tra la derivata di Jaumann del tensore relativo delle tensioni di Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) e il tensore della velocità di deformazione \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Anche qui la definizione di \(\boldsymbol{C}\) in termini delle costanti di Lamé è la stessa di sopra, ma, poiché la coppia tensione-deformazione è diversa, si tratta di una legge costitutiva differente. Per i dettagli su come \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) viene aggiornato mediante la procedura di integrazione temporale (integrazione di Euler in avanti e approssimazione alle differenze centrali), vedere tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Riduzione per analisi bidimensionale ed elementi shell

Tensione piana (\(\sigma_{33} = 0\))

Per lo stato di tensione piana, che rappresenta il carico di piastre sottili e shell, si assume \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) e la componente di deformazione fuori piano \(\varepsilon_{33}\) viene eliminata algebricamente nella matrice \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformazione piana (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Per lo stato di deformazione piana, che rappresenta la sezione di una struttura lunga vincolata nella direzione dello spessore, si assume \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Assialsimmetrico

In coordinate cilindriche \((r, \theta, z)\), nell’analisi assialsimmetrica di problemi uniformi nella direzione \(\theta\), si mantengono le quattro componenti \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) e \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), e

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

si ottiene.

Elementi shell (tensione piana + taglio trasversale)

Negli elementi shell, lo stato tensionale nel piano è trattato come tensione piana; inoltre, per le componenti di deformazione di taglio trasversale \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) si introduce il fattore di correzione del taglio \(\kappa\) (in genere \(\kappa = 5/6\)) e si usa \(\kappa\, G\). Per la formulazione dettagliata di ciascun elemento, vedere Formulazioni avanzate degli elementi. La specifica nella sezione delle funzioni 03_material secondo cui «gli elementi shell supportano solo l’elasticità lineare» si basa su questa semplificazione, che tratta lo stato nel piano come tensione piana.

Dipendenza dalla temperatura

Il modulo di Young \(E\), il coefficiente di Poisson \(\nu\) e il coefficiente di dilatazione lineare \(\alpha\) sono generalmente specificati come funzioni della temperatura \(T\). In FrontISTR si inseriscono i valori per una sequenza finita di punti di temperatura \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), e la temperatura \(T\) durante il calcolo viene valutata mediante interpolazione lineare tra punti adiacenti. Per temperature fuori dall’intervallo (\(T < T_1\) o \(T > T_n\)), si usa per l’estrapolazione il valore dell’estremo più vicino, \(T_1\) o \(T_n\) (estrapolazione costante).

Per la dipendenza dalla temperatura delle proprietà termiche e di conduzione del calore (densità, calore specifico e conducibilità termica), vedere Proprietà termiche. Le regole di interpolazione sono comuni a queste proprietà.

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