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Quadro dell'analisi incrementale

Necessità dell'analisi incrementale

Come descritto sopra, nell'analisi di problemi a piccole deformazioni l'analisi agli elementi finiti può essere eseguita utilizzando il principio dei lavori virtuali, equivalente alle equazioni fondamentali come quelle di equilibrio, e discretizzando tale equazione mediante elementi finiti. Lo stesso principio fondamentale dei lavori virtuali viene utilizzato anche nell'analisi di problemi a deformazioni finite che comportano grandi deformazioni delle strutture.

Tuttavia, nei problemi a deformazioni finite, anche assumendo un comportamento lineare del materiale, l'equazione del principio dei lavori virtuali diventa non lineare rispetto allo spostamento. Per risolvere equazioni non lineari, in genere si eseguono calcoli iterativi mediante un metodo iterativo.

In questi calcoli iterativi si utilizza un metodo di analisi incrementale, nel quale il calcolo viene eseguito per piccoli incrementi di carico e gli incrementi vengono accumulati fino a raggiungere lo stato deformato finale. Quando si assume un problema a piccole deformazioni, nella definizione di deformazione e tensione non si distingue in modo particolare tra le configurazioni prima e dopo la deformazione. In altre parole, nell'ipotesi di piccole deformazioni, non importa se la configurazione utilizzata per descrivere le equazioni fondamentali sia quella precedente o successiva alla deformazione.

Quando si esegue un'analisi incrementale per un problema a deformazioni finite, la formulazione differisce a seconda che come configurazione di riferimento si assuma la configurazione iniziale oppure quella all'inizio dell'incremento. La prima è detta metodo lagrangiano totale, mentre la seconda è detta metodo lagrangiano aggiornato. Per i dettagli, consultare i riferimenti alla fine del capitolo e il materiale correlato.

Equazione di partenza: principio dei lavori virtuali al tempo \(t'\)

Si consideri un'analisi incrementale in cui lo stato fino al tempo \(t\) è noto e lo stato al tempo \(t' = t + \Delta t\) è ignoto (vedere Figura 2.2.1). Le equazioni di equilibrio, le condizioni al contorno e il principio dei lavori virtuali al tempo \(t'\) (espresso nella configurazione corrente mediante la tensione di Cauchy \(^{t'}\sigma\) e la parte lineare della deformazione di Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) sono riportati in Principio dei lavori virtuali.

Concetto di analisi incrementale

Figura 2.2.1 Concetto di analisi incrementale

Tuttavia, poiché questa equazione di partenza è scritta nella configurazione (ignota) al tempo \(t'\), nella procedura di soluzione effettiva si seleziona come configurazione di riferimento la configurazione iniziale al tempo \(0\), \(V\), oppure la configurazione corrente al tempo \(t\), \(^{t'} v\), si riscrive l'equazione in forma incrementale e quindi la si risolve:

  • Metodo lagrangiano totale — Utilizza la configurazione iniziale \(V\) come riferimento. Si utilizzano la tensione di secondo Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e la deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Metodo lagrangiano aggiornato — Utilizza come riferimento la configurazione corrente \(^{t}v\) all'inizio dell'incremento. Si utilizzano la tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e la parte lineare della deformazione di Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Per la discretizzazione spaziale di entrambe le formulazioni (matrice B e vettore delle forze interne), vedere Discretizzazione del lavoro virtuale interno; per la linearizzazione e la costruzione della rigidezza tangente, vedere Matrice di rigidezza tangente.

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