Lewati ke isi

Kerangka Analisis Inkremental

Kebutuhan akan Analisis Inkremental

Seperti dijelaskan di atas, dalam analisis masalah deformasi kecil, analisis elemen hingga dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip kerja virtual, yang ekuivalen dengan persamaan dasar seperti persamaan kesetimbangan, lalu mendiskretisasikan persamaan tersebut dengan elemen hingga. Prinsip dasar kerja virtual yang sama juga digunakan dalam analisis masalah deformasi hingga yang melibatkan deformasi besar pada struktur.

Namun, pada masalah deformasi hingga, meskipun linearitas material diasumsikan, persamaan prinsip kerja virtual menjadi nonlinear terhadap perpindahan. Untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, perhitungan iteratif umumnya dilakukan dengan metode iteratif.

Dalam perhitungan iteratif tersebut, digunakan metode analisis inkremental, yaitu perhitungan dilakukan secara bertahap untuk kenaikan beban kecil dan kenaikan tersebut diakumulasikan hingga keadaan terdeformasi akhir tercapai. Jika diasumsikan masalah deformasi kecil, tidak dibuat pembedaan khusus antara konfigurasi sebelum dan sesudah deformasi ketika mendefinisikan regangan dan tegangan. Dengan kata lain, di bawah asumsi deformasi kecil, tidak menjadi masalah apakah konfigurasi yang digunakan untuk mendeskripsikan persamaan dasar adalah konfigurasi sebelum atau sesudah deformasi.

Ketika analisis inkremental dilakukan untuk masalah deformasi hingga, formulasi berbeda bergantung pada apakah konfigurasi awal atau konfigurasi pada awal inkremen dipakai sebagai konfigurasi referensi. Yang pertama disebut metode total Lagrange, dan yang kedua disebut metode updated Lagrange. Untuk rinciannya, lihat referensi di akhir bab dan materi terkait.

Persamaan Awal: Prinsip Kerja Virtual pada Waktu \(t'\)

Pertimbangkan analisis inkremental dengan keadaan hingga waktu \(t\) diketahui dan keadaan pada waktu \(t' = t + \Delta t\) tidak diketahui (lihat Gambar 2.2.1). Persamaan kesetimbangan, kondisi batas, dan prinsip kerja virtual pada waktu \(t'\) (dinyatakan dalam konfigurasi saat ini menggunakan tegangan Cauchy \(^{t'}\sigma\) dan bagian linear dari regangan Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) diberikan dalam Prinsip Kerja Virtual.

Konsep analisis inkremental

Gambar 2.2.1 Konsep analisis inkremental

Namun, karena persamaan awal ini ditulis dalam konfigurasi (yang tidak diketahui) pada waktu \(t'\), prosedur solusi aktual memilih konfigurasi awal \(V\) pada waktu \(0\) atau konfigurasi saat ini \(^{t'} v\) pada waktu \(t\) sebagai konfigurasi referensi, menulis ulang persamaan dalam bentuk inkremental, lalu menyelesaikannya:

  • Metode Total Lagrange — Menggunakan konfigurasi awal \(V\) sebagai referensi. Tegangan PK kedua \(\boldsymbol{S}\) dan regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) digunakan.
  • Metode Updated Lagrange — Menggunakan konfigurasi saat ini \(^{t}v\) pada awal inkremen sebagai referensi. Tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan bagian linear dari regangan Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) digunakan.

Untuk diskretisasi spasial kedua formulasi (matriks B dan vektor gaya internal), lihat Diskretisasi Kerja Virtual Internal; untuk linearisasi dan pembentukan kekakuan tangen, lihat Matriks Kekakuan Tangen.

Topik Terkait