Ana içeriğe geç

Artımlı Analiz Çerçevesi

Artımlı Analize Duyulan Gereksinim

Yukarıda açıklandığı gibi, küçük deformasyon problemlerinin analizinde denge denklemleri gibi temel denklemlere eşdeğer olan sanal iş ilkesi kullanılarak ve bu denklem sonlu elemanlarla ayrıklaştırılarak sonlu eleman analizi gerçekleştirilebilir. Yapıların büyük deformasyonunu içeren sonlu deformasyon problemlerinin analizinde de temelde aynı sanal iş ilkesi kullanılır.

Ancak sonlu deformasyon problemlerinde, malzeme doğrusal kabul edilse bile sanal iş ilkesi denklemi yer değiştirmeye göre doğrusal olmayan hâle gelir. Doğrusal olmayan denklemleri çözmek için genellikle yinelemeli bir yöntemle tekrarlı hesaplamalar yapılır.

Bu yinelemeli hesaplamalarda, küçük yük artımları için hesaplamanın parça parça yapıldığı ve artımların son deformasyon durumuna ulaşılıncaya kadar biriktirildiği artımlı analiz yöntemi kullanılır. Küçük deformasyon problemi varsayıldığında, gerinim ve gerilmenin tanımlandığı deformasyon öncesi ve sonrası konfigürasyonlar arasında özel bir ayrım yapılmaz. Başka bir deyişle, küçük deformasyon varsayımı altında temel denklemleri tanımlamak için deformasyondan önceki veya sonraki konfigürasyonun kullanılmasının önemi yoktur.

Sonlu deformasyon problemi için artımlı analiz yapıldığında, başlangıç konfigürasyonunun mı yoksa artımın başlangıcındaki konfigürasyonun mı referans konfigürasyonu olarak alındığına bağlı olarak formülasyon değişir. Birincisine total Lagrange yöntemi, ikincisine updated Lagrange yöntemi denir. Ayrıntılar için bölüm sonundaki kaynaklara ve ilgili malzemelere bakın.

Başlangıç Denklemi: \(t'\) Zamanındaki Sanal İş İlkesi

\(t\) zamanına kadarki durumun bilindiği, \(t' = t + \Delta t\) zamanındaki durumun ise bilinmediği bir artımlı analiz düşünün (bkz. Şekil 2.2.1). \(t'\) zamanındaki denge denklemleri, sınır koşulları ve sanal iş ilkesi (Cauchy gerilmesi \(^{t'}\sigma\) ve Almansi geriniminin doğrusal kısmı \(^{t'} A_{(L)}\) kullanılarak güncel konfigürasyonda ifade edilir) Sanal İş İlkesi bölümünde verilmiştir.

Artımlı analiz kavramı

Şekil 2.2.1 Artımlı analiz kavramı

Ancak bu başlangıç denklemi \(t'\) zamanındaki (bilinmeyen) konfigürasyonda yazıldığından, gerçek çözüm prosedürü referans konfigürasyonu olarak ya \(0\) zamanındaki başlangıç konfigürasyonu \(V\)'yi ya da \(t\) zamanındaki güncel konfigürasyonu \(^{t'} v\) seçer, denklemi artımlı biçimde yeniden yazar ve ardından çözer:

  • Total Lagrange yöntemi — Başlangıç konfigürasyonu \(V\) referans olarak kullanılır. İkinci PK gerilmesi \(\boldsymbol{S}\) ve Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\) kullanılır.
  • Updated Lagrange yöntemi — Artımın başlangıcındaki güncel konfigürasyon \(^{t}v\) referans olarak kullanılır. Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\) ve Almansi geriniminin doğrusal kısmı \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) kullanılır.

Her iki formülasyonun uzaysal ayrıklaştırması (B matrisi ve iç kuvvet vektörü) için İç Sanal İşin Ayrıklaştırılması; doğrusallaştırma ve teğet rijitliğin oluşturulması için Teğet Rijitlik Matrisi bölümüne bakın.

İlgili Konular