Ana içeriğe geç

Dinamik Analiz Yöntemleri

Bu bölüm, doğrudan zaman integrasyonu kullanılan dinamik problemlerin analiz yöntemlerini açıklamaktadır. Örtük ve açık yöntemlerin formülasyonları aşağıda verilmiştir.

Hareket Denkleminin Ayrıklaştırılması (Ortak Çerçeve)

TBD (bir sonraki aşamada tamamlanacaktır).

Örtük Yöntem (Newmark-β Yöntemi)

Dinamik problemlerde, aşağıda gösterilen hareket denklemini çözmek için doğrudan zaman integrasyonu yöntemi uygulanır.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Burada \(M\) kütle matrisi, \(C\) sönüm matrisi, \(Q\) iç kuvvet vektörü ve \(F\) dış kuvvet vektörüdür. Kütle matrisinin, doğrusal olmayan analizde bile deformasyondan bağımsız olarak sabit kaldığı varsayılır.

\(\Delta t\) zaman artımı boyunca yer değiştirme, hız ve ivmedeki değişimler Newmark-\(\beta\) yöntemi kullanılarak, Denklem \(\eqref{eq:2.5.2}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.3}\) içinde gösterildiği gibi yaklaştırılır.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Burada \(\gamma\) ve \(\beta\), Newmark-\(\beta\) yönteminin parametreleridir.

Bilindiği gibi, aşağıdaki \(\gamma\) ve \(\beta\) değerleri sırasıyla doğrusal ivme yöntemine ve trapez kuralına karşılık gelir.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (doğrusal ivme yöntemi)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapez kuralı)

Denklem \(\eqref{eq:2.5.2}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.3}\), Denklem \(\eqref{eq:2.5.1}\) içine yerleştirildiğinde aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Özellikle doğrusal bir problem için \(K_L\) doğrusal rijitlik matrisidir ve \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) olur. Bu bağıntı yukarıdaki denkleme yerleştirildiğinde aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

İvmenin geometrik sınır koşulu olarak verildiği konumlarda yer değiştirme, Denklem \(\eqref{eq:2.5.2}\) kullanılarak aşağıdaki şekilde elde edilir.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Benzer şekilde, hızın verildiği konumlarda yer değiştirme Denklem \(\eqref{eq:2.5.6}\) kullanılarak aşağıdaki şekilde elde edilir.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Burada \(u_{is}(t+\Delta{t})\), \(t+\Delta{t}\) zamanındaki düğüm yer değiştirmesi; \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) ise \(t+\Delta{t}\) zamanındaki düğüm hızıdır, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\), \(t+\Delta{t}\) zamanındaki düğüm ivmesidir; \(i\) düğüm serbestlik derecesi numarası, \(s\) ise düğüm numarasıdır. Kütle ve sönüm terimleri aşağıdaki gibi ele alınır.

Kütle Teriminin Ele Alınması

İlke olarak kütle matrisi yığılmış kütle matrisi olarak ele alınır.

Sönüm Teriminin Ele Alınması

Sönüm terimi, Denklem \(\eqref{eq:2.5.8}\) ile ifade edilen Rayleigh sönümü olarak ele alınır.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Burada \(R_m\) ve \(R_k\), Rayleigh sönüm parametreleridir.

!DYNAMIC kartında belirtilen \(R_m\) ve \(R_k\) değerleri tüm modele eşit olarak uygulanır. Her malzeme için farklı \(R_m\) ve \(R_k\) değerleri atamak üzere, ilgili malzemenin !MATERIAL bloğu içinde !DAMPING kartını belirtin. !DAMPING belirtilen bir malzemeye ait elemanlarda, eleman sönüm matrisi eleman kütle matrisi \(M_i\) ve teğet rijitlik matrisi \(K_i\) kullanılarak \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) biçiminde hesaplanır ve global sönüm matrisine monte edilir. Bu özellik yalnızca örtük yöntem için etkindir.

Açık Yöntem (Merkezi Fark Yöntemi)

Açık yöntem, aşağıda gösterilen t zamanındaki hareket denklemine dayanır.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) ve \(t - \Delta t\) zamanlarındaki yer değiştirmeler \(t\) zamanı çevresinde Taylor açılımlarıyla ifade edilip \(\Delta t\) açısından ikinci mertebeye kadar terimler tutulduğunda aşağıdaki denklemler elde edilir.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.5.3}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.4}\) farkı ve toplamı alınarak aşağıdaki denklemler elde edilir.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.5.12}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.5.13}\), Denklem \(\eqref{eq:2.5.9}\) içine yerleştirildiğinde aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Özellikle doğrusal bir problem için \(Q(t) = K_L U(t)\) olur ve yukarıdaki denklem şu hale gelir:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Kütle matrisi \(M\) yığılmış kütle matrisi ve sönüm matrisi oransal sönüm matrisi \(C = R_m M\) olarak alınırsa, Denklem \(\eqref{eq:2.5.15}\) eşzamanlı denklemlerin çözümünü gerektirmez.

Bu nedenle Denklem \(\eqref{eq:2.5.15}\) kullanılarak \(U(t+\Delta t)\) aşağıdaki denklemle elde edilebilir.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

İlgili Konular