Basit Şekilli Model ile Doğrulama

Elastik statik analiz

Bu doğrulamada, Şekil 9.1.1'de gösterildiği gibi ağ oluşturulmuş bir ankastre kiriş kullanılır. exA'dan exG'ye kadar yedi durum için, Şekil 9.1.2'de gösterildiği üzere yükleme koşulları değiştirilerek analizler gerçekleştirilmiştir. exG durumu, exA ile aynı yükleme koşullarına sahiptir ancak doğrudan bir çözücü kullanır.

Her yükleme koşuluna ait doğrulama sonuçları Tablo 9.1.1–9.1.7'de verilmiştir.

Şekil 9.1.1 Ankastre kiriş ağ örneği (altı yüzlü elemanlar)

	(a) exA, G: Tekil yük
	(b) exD: Yerçekimi
	(c) exB: Yüzeye dağıtılmış yük
	(d) exE: Merkezkaç kuvveti
	(e) exC: Hacim yükü
	(f) exF : Isıl yük

Öğe	Değer
Young modülü	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Uzunluk	\(L = 10.0\ mm\)
Poisson oranı	\(\nu = 0.3\)
Kesit alanı	\(A = 1.0\ mm^2\)
Kütle yoğunluğu	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Alanın ikinci momenti	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Yerçekimi ivmesi	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Doğrusal ısıl genleşme katsayısı	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tablo 9.1.2 Ankastre kiriş modeli için doğrulama koşulları

Tablo 9.1.1: exA: Tekil yük probleminin doğrulama sonuçları

Durum Adı	Eleman sayısı		Öngörülen Değer : \(\delta_{max}= -1.000\)		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 düğüm
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 düğüm
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 düğüm
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 düğüm
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 düğüm
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 düğüm
A731	40	-	-	-0.991	33 düğüm / doğrudan yöntem
A741	20	-	-	-0.996	33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.2: exB: Yüzeye dağıtılmış yük probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı		Öngörülen değer : \(\delta_{max}= -3.750\)		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 düğüm
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 düğüm
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 düğüm
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 düğüm
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 düğüm
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 düğüm
B731	40	-	-	-3.722	33 düğüm / doğrudan yöntem
B741	20	-	-	-3.743	33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.3: exC: Hacim yükü probleminin doğrulama sonuçları

Durum Adı	Eleman sayısı		Öngörülen Değer : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 düğüm / düzlem gerilme problemi
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 düğüm / düzlem gerilme problemi
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 düğüm / düzlem gerilme problemi
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 düğüm / düzlem gerilme problemi
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 düğüm
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 düğüm
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 düğüm
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 düğüm
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 düğüm
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 düğüm
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 düğüm / doğrudan yöntem
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.4: exD: Yerçekimi probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı		Öngörülen Değer : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 düğüm
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 düğüm
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 düğüm
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 düğüm
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 düğüm
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 düğüm
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 düğüm / doğrudan yöntem
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.5: exE: Merkezkaç kuvveti probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı		Öngörülen değer : \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 düğüm
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 düğüm
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 düğüm
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 düğüm
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 düğüm
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 düğüm
E731	40	-	-	2.619e-3	33 düğüm / doğrudan yöntem
E741	20	-	-	2.622e-3	33 düğüm / doğrudan yöntem

Tablo 9.1.6: exF: Isıl gerilme yükü probleminin doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı		Öngörülen Değer : \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 düğüm
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 düğüm
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 düğüm
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 düğüm
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 düğüm
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 düğüm

Tablo 9.1.7: exG: Doğrudan yöntem doğrulama sonuçları (tekil yük problemi)

Durum adı	Eleman sayısı		Öngörülen değer: δmax= -1.000		Açıklamalar
		NASTRAN	Ticari yazılım	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 düğüm
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 düğüm
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 düğüm
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 düğüm
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 düğüm
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 düğüm
G731	40	-	-	-0.991	33 düğüm / doğrudan yöntem
G741	20	-	-	-0.996	33 düğüm / doğrudan yöntem

Doğrusal olmayan statik analiz

(2-1) exnl1: Geometrik doğrusal olmayan analiz

exI durumu için doğrulama modeli, exA'dan exG'ye kadar olan durumların modelleriyle aynıdır. Şekil 9.1.3, doğrulama modelinin şematik gösterimini verir. Bu model üzerinde geometrik doğrusal olmayan analiz gerçekleştirilir. Doğrulama sonuçları Tablo 9.1.8’de gösterilmiştir.

Doğrusal olmayan hesaplamada, 0.1P'lik yük artımlarıyla nihai 1.0P yüküne kadar 10 yük adımı kullanılır.

Şekil 9.1.3 Doğrulama modeli

Tablo 9.1.8 exI: Doğrulama sonuçları (maksimum sehim geçmişi)

Durum adı	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Doğrusal çözüm
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastik deformasyon analizi

Bu doğrulama problemi, National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 from NAFEMS'i referans alır, ve geometrik doğrusal olmamayı ve birden fazla pekleşme kuralını içeren elastoplastik deformasyon analizi gerçekleştirir. Şekil 9.1.4 analiz modelini gösterir.

Şekil 9.1.4 Elastoplastik deformasyon analiz modeli

(1) Doğrulama koşulları

Öğe	Değer
Malzeme	Mises elastoplastik malzemesi
Young modülü	\(E = 250 GPa\)
Poisson oranı	\(\nu=0.25\)
İlk akma gerilmesi	\(5 MPa\)
İlk akma gerinimi	\(0.25\times10^{-4}\)
İzotropik pekleşme katsayısı	\(H_i = 0\) veya \(62.5 GPa\)

(2) Sınır koşulları

Öğe	Sınır koşulu	Değer
Adım 1	2 ve 3 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Adım 2	2 ve 3 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 3	3 ve 4 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Adım 4	3 ve 4 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 5	2 ve 3 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 6	2 ve 3 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Adım 7	3 ve 4 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Adım 8	3 ve 4 numaralı düğümlerde zorlanmış yer değiştirme	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Burada listelenmeyen tüm düğümler tamamen kısıtlanmıştır. Bu problemin teorik çözümü aşağıdaki gibidir.

Gerinim (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Eşdeğer Gerilme (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Buna karşılık, hesaplama sonuçları aşağıdaki gibidir.

Gerinim (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Eşdeğer gerilme (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Temas Analizi (1)

Bu doğrulama problemi, National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) temas yama testi problemi CGS-4'ü referans alır, ve sürtünmeli sonlu kaymalı temas yeteneğini test eder. Şekil 9.1.5 analiz modelini gösterir.

Şekil 9.1.5 Temas analiz modeli

Bu problemin denge koşulu aşağıdaki gibidir.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

Yapışmalı sürtünme aşamasında sürtünme kuvveti [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] ve kaymalı sürtünme aşamasında [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Hesaplama sonuçları ile analitik çözüm arasındaki karşılaştırma aşağıdaki gibidir.

\(\mu\)	\(F/G\) Analitik Çözüm	\(F/G\) Hesaplama Sonuçları
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Temas analizi (2): Hertz temas problemi

Bu doğrulamada, sonsuz uzunlukta bir silindir ile sonsuz bir düzlem arasındaki Hertz temas problemi analiz edilir. Silindirin yarıçapı R=8mm’dir ve deformasyona uğrayan cismin Young modülü E ile Poisson oranı µ sırasıyla 1100Mpa ve 0.0’dır. Temas alanının silindir yarıçapına kıyasla yeterince küçük olduğu varsayılır ve problemin simetrisi dikkate alınarak çeyrek silindir modeli analiz edilir.

Şekil 9.1.6 Hertz temas problemi için analiz modeli

(1) Temas yarıçapının doğrulama sonuçları

Temas yarıçapını hesaplamak için teorik formül aşağıdaki gibidir:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

burada [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Mevcut hesaplama koşullarında basınç \(F=100\) olduğunda temas yarıçapı \(a=1.36\) olur.

Şekil 9.1.7 temas noktalarındaki eşdeğer düğüm kuvvetlerini gösterir. Temas yarıçapı, bu düğüm kuvveti dağılımının dışa ekstrapolasyonu ile elde edilir.

Şekil 9.1.7 Temas noktalarındaki eşdeğer düğüm kuvveti dağılımı

(2) Maksimum Kayma Gerilmesi Doğrulama Sonuçları

Teorik çözümde, temas konumunda [ z = 0.78a ] maksimum kayma gerilmesi [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Mevcut hesaplama koşullarında, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Buna karşılık hesaplama sonucu [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Şekil 9.1.8 Kayma gerilmesi dağılımı (maksimum değer = 15.6)

(3) Modal Analiz

exJ ve exK durumlarının doğrulama modelleri, exA'dan exG'ye kadar olan durumların modelleriyle aynıdır. Şekil 9.1.9, doğrulama modelinin şematik gösterimini verir. Bu model üzerinde modal analiz gerçekleştirilir. Birinci ile üçüncü mertebe arasındaki özdeğerler hesaplanır. exJ durumunda yinelemeli bir çözücü, exK durumunda ise doğrudan bir çözücü kullanılır. Doğrulama sonuçları Tablo 9.1.9–9.1.12’de gösterilmiştir.

Şekil 9.1.9 Doğrulama modeli

Ankastre kirişin doğal frekansları aşağıdaki denklemlerden elde edilir.

Birinci mod [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] İkinci mod [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Üçüncü mod [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Doğrulama modelinin özellik değerleri şöyledir:

Öğe	Değer
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Buna göre, üçüncü moda kadar özdeğerler aşağıdaki gibidir:

Mod numarası	Değer
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tablo 9.1.9: exJ: Birinci özdeğer için yinelemeli yöntem doğrulama sonuçları

Durum Adı	Eleman sayısı	Öngörülen değer : n1=3.609e3		Açıklamalar
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 düğüm
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 düğüm
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 düğüm
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 düğüm
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 düğüm
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 düğüm

Tablo 9.1.10: exJ’nin ikinci özdeğer için yinelemeli yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı	Öngörülen değer : n2=2.262e4		Açıklamalar
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 düğüm
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 düğüm
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 düğüm
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 düğüm
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 düğüm
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 düğüm

Not: Üç boyutlu (3D) modellerde birinci ve ikinci değerler çift köktür. Bu nedenle tablodaki ikinci değer, üçüncü mertebe hesaplama değerini temsil eder.

Tablo 9.1.11: exK’nin birinci özdeğer için doğrudan yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı	Öngörülen Değer : n1=3.609e3		Açıklamalar
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 düğüm
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 düğüm
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 düğüm
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 düğüm
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 düğüm
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 düğüm
J731	40	-	3.606e3	220 düğüm
J741	20	-	3.594e3	220 düğüm

Tablo 9.1.12: exK’nin ikinci özdeğer için doğrudan yöntem doğrulama sonuçları

Durum adı	Eleman sayısı	Öngörülen değer : n2=2.262e4		Açıklamalar
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 düğüm / düzlem gerilme durumu problemi
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 düğüm
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 düğüm
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 düğüm
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 düğüm
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 düğüm
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 düğüm
J731	40	-	2.156e4	220 düğüm
J741	20	-	2.153e4	220 düğüm

Not: 3D modellerde birinci ve ikinci değerler çift köktür. Bu nedenle tablodaki ikinci değer, üçüncü mertebe hesaplama değerini temsil eder.

(4) Isı iletimi analizi

Kararlı durum ısı iletimi analizlerinin ortak koşulları Şekil 9.1.10’da gösterilmiştir. exM’den exT’ye kadar olan doğrulama durumlarının ayrı koşulları Şekil 9.1.11’de gösterilmiştir. Ağ bölümlendirmesi exA için kullanılanla eşdeğerdir.

Her duruma ait doğrulama sonuçları (sıcaklık dağılımı tablosu) Tablo 9.1.13–9.1.20’de verilmiştir.

AB arası uzunluk	\(L = 10.0m\)
Kesit alanı	\(A = 1.0 mm^2\)

Isı iletkenliğinin sıcaklığa bağımlılığı

Isı iletkenliği \(\lambda(W/mK)\)	Sıcaklık \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Şekil 9.1.10: Kararlı durum ısı iletimi analizinin doğrulama koşulları

exM: Doğrusal malzeme
exN: Tanımlı sıcaklık problemi
exO: Tekil ısı akısı problemi
exP: Dağıtılmış ısı akısı problemi
exQ: Konvektif ısı transferi problemi
exR: Işınımla ısı transferi problemi
exS: Hacimsel ısı üretimi problemi
exT: İç boşluk problemi

Şekil 9.1.11: Her doğrulama durumu için analiz koşulları

Tablo 9.1.13: exM doğrulama sonuçları (doğrusal malzemenin kararlı durum hesabı)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tablo 9.1.14: exN doğrulama sonuçları (tanımlı sıcaklık problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tablo 9.1.15: exO doğrulama sonuçları (tekil ısı akısı problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tablo 9.1.16: exP doğrulama sonuçları (dağıtılmış ısı akısı problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tablo 9.1.17: exQ doğrulama sonuçları (konvektif ısı transferi problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tablo 9.1.18: exR doğrulama sonuçları (ışınımla ısı transferi problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tablo 9.1.19: exS doğrulama sonuçları (hacimsel ısı üretimi problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tablo 9.1.20: exT doğrulama sonuçları (iç boşluk problemi)

Durum adı	Eleman tipi	Eleman/düğüm	A ucundan uzaklık (m)
			A ucu	2.0	4.0	6.0	8,0	B ucu
Ticari yazılım	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Doğrusal dinamik analiz

exW’de, madde (1)’dekiyle aynı ankastre kiriş üzerinde doğrusal dinamik analiz gerçekleştirilir. Şekil 9.1.12 doğrulama koşullarını gösterir. Aynı ağ bölümlendirmesi için zaman artımının sonuçlar üzerindeki etkisi doğrulanır. 361 ve 342 eleman tipleriyle hem örtük hem de açık zaman integrasyonu yöntemleri kullanılır. Doğrulama sonuçları Tablo 9.1.22 ve Şekil 9.1.13–9.1.15’te gösterilmiştir.

Analiz Modeli

Dış kuvvet F’nin zaman geçmişi

Titreşim noktasındaki yer değiştirmenin teorik çözümü aşağıdaki gibidir:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

burada

\[ F_0:Sabit\ vektör \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Şekil 9.1.12: Doğrusal dinamik analizin doğrulama koşulları

Doğrulama koşulları:

Uzunluk	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Kesit genişliği	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Kesit yüksekliği	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Young modülü	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Poisson oranı	\(\nu\)	\(0.3\)
Yoğunluk	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Yerçekimi ivmesi	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Dış kuvvet	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

Eleman	Altı yüzlü birinci dereceden eleman
İkinci dereceden dört yüzlü eleman
Çözüm	Örtük yöntem
Newmark-\(\beta\) yöntemi parametresi \(\gamma\)	1/2
Newmark-\(\beta\) yönteminin \(\beta\) parametresi	1/4
Açık yöntem
Sönüm	Yok

Tablo 9.1.21: Doğrusal dinamik analizin doğrulama koşulları (devam)

Durum Adı	Eleman Tipi	Düğüm Sayısı	Eleman Sayısı	Çözüm	Zaman artımı \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Örtük yöntem	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Örtük yöntem	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Örtük yöntem	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Örtük yöntem	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Örtük yöntem	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Örtük yöntem	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Açık yöntem	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Açık yöntem	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Açık yöntem	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Açık yöntem	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Açık yöntem	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Açık yöntem	1.0E-07

Tablo 9.1.22: exW doğrusal dinamik analiz doğrulama sonuçları (ankastre kiriş)

Durum adı	Eleman tipi	Düğüm sayısı	Eleman sayısı	Yöntem	t=0.002 sec anındaki z-yönü yer değiştirmesi [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Örtük yöntem	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Örtük yöntem	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Örtük yöntem	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Örtük yöntem	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Örtük yöntem	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Örtük yöntem	1.9753	Iraksadı
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Açık yöntem	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Açık yöntem	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Açık yöntem	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Açık yöntem	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Açık yöntem	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Açık yöntem	1.9753	Iraksadı

Şekil 9.1.13: Ankastre kirişin deformasyon diyagramı ve eşdeğer gerilme dağılımı

(a) Eleman Tipi 361 : Örtük yöntem

(b) Eleman tipi 361: Açık yöntem

Şekil 9.1.14 Uyarma noktası yer değiştirmesi \(u_z\) zaman geçmişi

(a) Eleman tipi 342: Örtük yöntem

(b) Eleman tipi 342: Açık yöntem

Şekil 9.1.14: Titreşim noktası yer değiştirmesi \(u_z\) zaman geçmişi

Frekans Tepki Analizi

Bu doğrulamada bir ankastre kiriş üzerinde frekans tepki analizi gerçekleştirilir ve genel amaçlı ticari bir çözücünün sonuçlarıyla karşılaştırılarak doğrulanır. Analiz modeli ve doğrulama koşulları aşağıda gösterilmiştir.

Analiz koşulları:

Young modülü	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Poisson oranı	\(\nu\)	\(0.3\)
Yoğunluk	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Yerçekimi ivmesi	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Yük	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Rayleigh sönüm parametresi	\(R_m\)	\(0.0\)
Rayleigh sönüm parametresi	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Şekil 9.1.15 : Analiz modeli (dört yüzlü birinci dereceden eleman (126 eleman ve 55 düğüm))

Özdeğer analizinden elde edilen beşinci mertebeye kadar özdeğerler ve titreşim noktalarının frekans tepkisi aşağıdaki gibidir:

mod	FrontISTR	Ticari yazılım
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Şekil 9.1.16 : Titreşim noktalarının yer değiştirme genliğinin frekansa bağımlılığı