Hareket, Deformasyon ve Gerinim¶

Referans ve Güncel Konfigürasyonlar¶

Konfigürasyonların Tanımı¶

Fiziksel büyüklüklerin tanımlanmasında zamandaki hangi şeklin esas alındığını ayırt etmek için bu kılavuz iki konfigürasyon kullanır.

Referans konfigürasyonu: Analizin başlangıcındaki (zaman \(0\)) deforme olmamış şekildir ve başlangıç konfigürasyonu olarak da adlandırılır. Referans konfigürasyonundaki bir nokta malzeme koordinatı \(\boldsymbol{X}\) ile, hacim \(V\) ve yüzey \(S\) ile gösterilir.
Güncel konfigürasyon: Zaman \(t\) anındaki deforme olmuş şekildir. Güncel konfigürasyondaki bir nokta uzaysal koordinat \(\boldsymbol{x}\) ile, hacim \(v\) ve yüzey \(s\) ile gösterilir.

Hareket, bu iki konfigürasyon arasındaki \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) eşlemesi olarak gösterilir ve yer değiştirme \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) olarak tanımlanır.

Konfigürasyona Bağlı Gösterim (Büyük/Küçük Harf)¶

Bir sembolün büyük ya da küçük harfle yazılması, fiziksel büyüklüğün ait olduğu konfigürasyonu ayırt eder.

Referans konfigürasyonuna ait büyüklükler büyük harfli sembollerle yazılır (örneğin \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Güncel konfigürasyona ait büyüklükler küçük harfli sembollerle yazılır (örneğin \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Birinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{P}\) gibi iki konfigürasyonu birden kapsayan büyüklüklerde geleneksel gösterim kullanılır ve gerektiğinde metinde açıkça belirtilir.
Küçük deformasyon teorisinde iki konfigürasyon arasındaki ayrım ortadan kalktığından yalnızca küçük harfli semboller (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) kullanılır.

Referans-Konfigürasyonu ve Güncel-Konfigürasyon Gradyanları¶

Uzaysal türevin hangi konfigürasyona göre alındığına bağlı olarak gösterim ve anlam farklıdır.

Referans-konfigürasyonu gradyanı \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): malzeme koordinatlarına göre gradyan. Örnek: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Güncel-konfigürasyon gradyanı \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): uzaysal koordinatlara göre gradyan. Örnek: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Bunlar \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) bağıntısıyla ilişkilidir. Zaman türevleri (malzeme zaman türevi \(\dot{(\cdot)}\)) için kullanılan gösterim kuralı hakkında Tensör Gösterimi ve Matematiksel Temeller bölümüne bakın.

Hareketin Tanımı¶

Hareket Eşlemesi ve Malzeme/Uzaysal Tanımlar¶

Bir sürekli ortam, zaman \(0\) anındaki konumları \(\boldsymbol{X}\) ile etiketlenen malzeme noktalarının bir kümesi olarak ele alındığında, hareket; malzeme noktası \(\boldsymbol{X}\) ile zaman \(t\) anındaki konumu \(\boldsymbol{x}\) arasında ilişki kuran \(\phi\) eşlemesiyle

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

şeklinde gösterilir. Referans konfigürasyonunun başlangıç konfigürasyonu olarak alındığı gösterim kuralında \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) olur.

Bağımsız değişkenlerin seçimine göre iki tanım birbirinden ayrılır.

Malzeme tanımı (Lagrange tanımı): fiziksel büyüklükleri \((\boldsymbol{X}, t)\) fonksiyonları olarak gösterir. Referans konfigürasyonu sabit bir şekil olarak verildiğinden katı mekaniğinde doğal bir seçimdir.
Uzaysal tanım (Euler tanımı): fiziksel büyüklükleri \((\boldsymbol{x}, t)\) fonksiyonları olarak gösterir. Akışkanlar mekaniğinde standart tanımdır.

FrontISTR yapısal analizi temelde malzeme tanımına dayanır; ancak Updated Lagrange yönteminde güncel konfigürasyon yeni referans konfigürasyonu olarak kullanıldığından uzaysal tanımdaki büyüklükler de kullanılır.

Yer Değiştirme, Hız ve İvme¶

Önceki bölümde belirtildiği gibi yer değiştirme \(\boldsymbol{u}\), \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ile tanımlanır. Büyüklüğü hakkında herhangi bir varsayım yapılmadığından sonlu deformasyon da kapsanır. Hız ve ivme vektörleri, malzeme noktası sabit tutularak \(\boldsymbol{u}\)'nun malzeme zaman türevleri olarak tanımlanır:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Bu denklemler hız ve ivmeyi tanımlar.

Deformasyon Gradyanı ve Deformasyon Tensörleri¶

Deformasyon Gradyanı Tensörü¶

Sonlu deformasyon sürekli ortam mekaniğindeki temel büyüklük deformasyon gradyanı tensörü \(\boldsymbol{F}\)'dir. Referans konfigürasyonundaki sonsuz küçük bir doğru elemanı \(d\boldsymbol{X}\)'i güncel konfigürasyondaki sonsuz küçük bir doğru elemanı \(d\boldsymbol{x}\)'e eşleyen doğrusal dönüşümdür ve hareket eşlemesinin malzeme koordinatlarına göre gradyanı olarak tanımlanır:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Bu şekilde tanımlanır (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Deforme olmamış durumda \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) olur. \(\boldsymbol{F}\); gerinim ve gerilmenin tanımlanmasında ve fiziksel büyüklüklerin konfigürasyonlar arasında dönüştürülmesinde yaygın olarak kullanılır.

Hacim Oranı¶

Referans konfigürasyonundaki sonsuz küçük hacim \(dV\) ile güncel konfigürasyondaki karşılık gelen sonsuz küçük hacim \(dv\) arasındaki oran hacim oranı \(J\) olarak adlandırılır:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Sürekli ortamın tersinirliği \(J > 0\) olmasını gerektirir. Kütlenin korunumu \(\rho_0 = J\rho\) ile ifade edilir.

Sağ ve Sol Cauchy-Green Deformasyon Tensörleri¶

Deformasyon gradyanı \(\boldsymbol{F}\) rijit cisim dönmesini de içerdiğinden, deformasyonun kendisini ölçmek için rijit cisim dönmesi çıkarılmış büyüklükler kullanılır. Sağ Cauchy-Green deformasyon tensörü \(\boldsymbol{C}\) (referans konfigürasyonu) ve sol Cauchy-Green deformasyon tensörü \(\boldsymbol{b}\) (güncel konfigürasyon) şu şekilde tanımlanır

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Her ikisi de simetrik tensörlerdir ve aynı özdeğerlere (asal uzamaların karelerine) sahiptir. Hiperelastik gerinim-enerji fonksiyonlarının asal değişmezleri bu tensörler kullanılarak ifade edilir.

Gerinim Tensörleri¶

Green-Lagrange Gerinim Tensörü¶

Referans konfigürasyonuna göre tanımlanan bir gerinim ölçüsü olarak Green-Lagrange gerinim tensörü \(\boldsymbol{E}\) şu şekilde tanımlanır

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Referans konfigürasyonundaki sonsuz küçük vektörlerin iç çarpımındaki değişimi temsil eden simetrik bir tensördür, rijit cisim dönmesine göre değişmezdir ve deforme olmamış durumda \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) koşulunu sağlar. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) kullanıldığında

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Bu ifade, gerinimi yer değiştirme gradyanının birinci ve ikinci dereceden terimlerinin toplamı olarak gösterir; ikinci dereceden terim geometrik doğrusal olmayanlığı temsil eder. Total Lagrange yönteminde \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) iş-eşlenik çifti olarak kullanılır.

Almansi Gerinim Tensörü¶

Güncel konfigürasyona göre tanımlanan bir gerinim ölçüsü olarak Almansi gerinim tensörü \(\boldsymbol{e}\) şu şekilde tanımlanır

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Green-Lagrange gerinimi ile \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (geri çekme) bağıntısıyla ilişkilidir.

Sonsuz Küçük Gerinim Tensörü¶

Yer değiştirme gradyanı küçük olduğunda (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange geriniminin ikinci dereceden terimi ihmal edilebilir. Bu durumda iki konfigürasyon arasındaki ayrım ortadan kalktığından, gradyanı uzaysal koordinatlarda yazılan sonsuz küçük gerinim tensörü \(\boldsymbol{\varepsilon}\) biçimine indirgenir:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR, doğrusal statik analiz, modal analiz, frekans cevabı analizi ve doğrusal dinamik analiz için bu gerinim ölçüsünü kullanır. Sonlu deformasyon analizinde Total Lagrange yönteminde \(\boldsymbol{E}\), Updated Lagrange yönteminde ise güncel konfigürasyona göre tanımlanan deformasyon hızı tensörü \(\boldsymbol{D}\) kullanılır.