Mouvement, déformation et déformation unitaire¶

Configurations de référence et actuelle¶

Définition des configurations¶

Afin de distinguer la forme temporelle prise comme référence pour décrire les grandeurs physiques, ce manuel utilise deux configurations.

Configuration de référence (reference configuration) : forme non déformée au début de l’analyse (temps \(0\)), également appelée configuration initiale. Un point de la configuration de référence est représenté par la coordonnée matérielle \(\boldsymbol{X}\), le volume par \(V\) et la surface par \(S\).
Configuration actuelle (current configuration) : forme déformée au temps \(t\). Un point de la configuration actuelle est représenté par la coordonnée spatiale \(\boldsymbol{x}\), le volume par \(v\) et la surface par \(s\).

Le mouvement est représenté par une application entre ces deux configurations, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), et le déplacement est défini par \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Convention de notation dépendant de la configuration (majuscules/minuscules)¶

La casse des symboles permet de distinguer la configuration à laquelle appartient une grandeur physique.

Les grandeurs appartenant à la configuration de référence sont écrites avec des symboles en majuscules (par exemple \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Les grandeurs appartenant à la configuration actuelle sont écrites avec des symboles en minuscules (par exemple \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Les grandeurs qui relient les deux configurations, telles que la première contrainte de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), utilisent la notation conventionnelle et sont identifiées explicitement dans le texte lorsque nécessaire.
En théorie des petites déformations, la distinction entre les deux configurations disparaît ; seuls des symboles en minuscules (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) sont alors utilisés.

Gradients dans les configurations de référence et actuelle¶

La notation et la signification diffèrent selon la configuration par rapport à laquelle la dérivée spatiale est prise.

Gradient dans la configuration de référence \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) : gradient par rapport aux coordonnées matérielles. Exemple : \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient dans la configuration actuelle \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) : gradient par rapport aux coordonnées spatiales. Exemple : \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Ils sont liés par \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Pour la convention concernant les dérivées temporelles (dérivée temporelle matérielle \(\dot{(\cdot)}\)), voir Notation tensorielle et fondements mathématiques.

Description du mouvement¶

Application du mouvement et descriptions matérielle/spatiale¶

Si l’on considère le milieu continu comme un ensemble de points matériels repérés par leur position \(\boldsymbol{X}\) au temps \(0\), le mouvement est représenté par l’application \(\phi\) qui associe au point matériel \(\boldsymbol{X}\) sa position \(\boldsymbol{x}\) au temps \(t\) :

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Avec la convention selon laquelle la configuration de référence est la configuration initiale, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Deux descriptions sont distinguées selon le choix des variables indépendantes.

Description matérielle (description lagrangienne) : les grandeurs physiques sont représentées comme des fonctions de \((\boldsymbol{X}, t)\). En mécanique des solides, ce choix est naturel car la configuration de référence est donnée sous forme d’une géométrie fixe.
Description spatiale (description eulérienne) : les grandeurs physiques sont représentées comme des fonctions de \((\boldsymbol{x}, t)\). C’est la description standard en mécanique des fluides.

L’analyse structurale de FrontISTR repose fondamentalement sur la description matérielle ; toutefois, la méthode Updated Lagrange utilise également des grandeurs de la description spatiale, puisque la configuration actuelle est prise comme nouvelle configuration de référence.

Déplacement, vitesse et accélération¶

Comme indiqué à la section précédente, le déplacement \(\boldsymbol{u}\) est défini par \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Aucune hypothèse n’est faite sur son amplitude, de sorte que les déformations finies sont incluses. Les vecteurs vitesse et accélération sont définis comme les dérivées temporelles matérielles de \(\boldsymbol{u}\) en suivant le même point matériel :

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Gradient de déformation et tenseurs de déformation¶

Tenseur gradient de déformation¶

La grandeur fondamentale de la mécanique des milieux continus en déformations finies est le tenseur gradient de déformation \(\boldsymbol{F}\). Il s’agit de l’application linéaire qui transforme un élément de ligne infinitésimal \(d\boldsymbol{X}\) de la configuration de référence en un élément de ligne infinitésimal \(d\boldsymbol{x}\) de la configuration actuelle ; il est défini comme le gradient de l’application du mouvement par rapport aux coordonnées matérielles :

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Ainsi défini (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), il vérifie \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) dans l’état non déformé. \(\boldsymbol{F}\) est largement utilisé pour définir les déformations et les contraintes ainsi que pour transformer les grandeurs physiques entre configurations.

Rapport de variation de volume¶

Le rapport entre le volume infinitésimal \(dV\) dans la configuration de référence et le volume infinitésimal correspondant \(dv\) dans la configuration actuelle est appelé rapport de variation de volume \(J\) :

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

L’inversibilité du milieu continu impose \(J > 0\). La conservation de la masse s’écrit \(\rho_0 = J\rho\).

Tenseurs de déformation de Cauchy-Green droit et gauche¶

Le gradient de déformation \(\boldsymbol{F}\) contenant la rotation de corps rigide, les mesures de la déformation proprement dite utilisent des grandeurs dont cette rotation a été éliminée. Le tenseur de déformation de Cauchy-Green droit \(\boldsymbol{C}\) (configuration de référence) et le tenseur de déformation de Cauchy-Green gauche \(\boldsymbol{b}\) (configuration actuelle) sont définis par

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Tous deux sont des tenseurs symétriques et possèdent les mêmes valeurs propres (les carrés des allongements principaux). Les invariants principaux des fonctions d’énergie de déformation hyperélastique s’expriment au moyen de ces tenseurs.

Tenseurs de déformation unitaire¶

Tenseur de déformation de Green-Lagrange¶

Comme mesure de déformation rapportée à la configuration de référence, le tenseur de déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) est défini par

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Il s’agit d’un tenseur symétrique représentant la variation du produit scalaire de vecteurs infinitésimaux dans la configuration de référence ; il est invariant par rotation de corps rigide et vérifie \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) dans l’état non déformé. En utilisant \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), on obtient

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

La déformation est ainsi exprimée comme la somme de termes du premier et du second ordre du gradient de déplacement ; le terme du second ordre représente la non-linéarité géométrique. Dans la méthode Total Lagrange, elle est utilisée dans la paire énergétiquement conjuguée \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tenseur de déformation d’Almansi¶

Comme mesure de déformation rapportée à la configuration actuelle, le tenseur de déformation d’Almansi \(\boldsymbol{e}\) est défini par

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Il est relié à la déformation de Green-Lagrange par \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tenseur des petites déformations¶

Lorsque le gradient de déplacement est petit (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), le terme du second ordre de la déformation de Green-Lagrange peut être négligé. Comme la distinction entre les deux configurations disparaît alors, on retrouve le tenseur des petites déformations \(\boldsymbol{\varepsilon}\), le gradient étant exprimé dans les coordonnées spatiales :

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR utilise cette mesure de déformation pour l’analyse statique linéaire, l’analyse modale, l’analyse de réponse fréquentielle et l’analyse dynamique linéaire. L’analyse en déformations finies utilise \(\boldsymbol{E}\) dans la méthode Total Lagrange et le tenseur des taux de déformation \(\boldsymbol{D}\) rapporté à la configuration actuelle dans la méthode Updated Lagrange.