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Méthodes d’analyse dynamique

Cette section décrit les méthodes d’analyse des problèmes dynamiques par intégration directe dans le temps. Les formulations des méthodes implicite et explicite sont présentées ci-dessous.

Discrétisation de l’équation du mouvement (cadre commun)

TBD (à compléter lors de la prochaine phase).

Méthode implicite (méthode de Newmark-β)

Pour les problèmes dynamiques, une méthode d’intégration directe dans le temps est appliquée à l’équation du mouvement ci-dessous.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Ici, \(M\) est la matrice de masse, \(C\) la matrice d’amortissement, \(Q\) le vecteur des forces internes et \(F\) le vecteur des forces externes. La matrice de masse est supposée rester constante indépendamment de la déformation, même en analyse non linéaire.

Les variations du déplacement, de la vitesse et de l’accélération sur l’incrément de temps \(\Delta t\) sont approximées par la méthode de Newmark-\(\beta\), comme indiqué dans les équations \(\eqref{eq:2.5.2}\) et \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Ici, \(\gamma\) et \(\beta\) sont des paramètres de la méthode de Newmark-\(\beta\).

Comme il est bien connu, les valeurs suivantes de \(\gamma\) et \(\beta\) correspondent respectivement à la méthode d’accélération linéaire et à la règle trapézoïdale.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (méthode d’accélération linéaire)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (règle trapézoïdale)

En substituant les équations \(\eqref{eq:2.5.2}\) et \(\eqref{eq:2.5.3}\) dans l’équation \(\eqref{eq:2.5.1}\), on obtient l’équation suivante.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

En particulier, pour un problème linéaire, \(K_L\) est la matrice de rigidité linéaire et \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). En substituant cette relation dans l’équation ci-dessus, on obtient l’équation suivante.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Aux endroits où l’accélération est prescrite comme condition aux limites géométrique, le déplacement est obtenu à partir de l’équation \(\eqref{eq:2.5.2}\) comme suit.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

De même, aux endroits où la vitesse est prescrite, le déplacement est obtenu à partir de l’équation \(\eqref{eq:2.5.6}\) comme suit.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Ici, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) est le déplacement nodal à l’instant \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) est la vitesse nodale à l’instant \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) est l’accélération nodale à l’instant \(t+\Delta{t}\), \(i\) est le numéro du degré de liberté nodal et \(s\) le numéro du nœud. Les termes de masse et d’amortissement sont traités comme suit.

Traitement du terme de masse

En principe, la matrice de masse est traitée comme une matrice de masse concentrée.

Traitement du terme d’amortissement

Le terme d’amortissement est traité comme un amortissement de Rayleigh exprimé par l’équation \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Ici, \(R_m\) et \(R_k\) sont les paramètres d’amortissement de Rayleigh.

Les \(R_m\) et \(R_k\) spécifiés par la carte !DYNAMIC sont appliqués uniformément à l’ensemble du modèle. Pour attribuer des \(R_m\) et \(R_k\) différents selon le matériau, spécifiez la carte !DAMPING dans le bloc !MATERIAL du matériau concerné. Pour les éléments appartenant à un matériau où !DAMPING est spécifié, la matrice d’amortissement élémentaire est calculée à partir de la matrice de masse \(M_i\) et de la matrice de rigidité tangente \(K_i\) de l’élément selon \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), puis assemblée dans la matrice d’amortissement globale. Cette fonction n’est valide qu’avec la méthode implicite.

Méthode explicite (méthode des différences centrales)

La méthode explicite est fondée sur l’équation du mouvement à l’instant t indiquée ci-dessous.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

En exprimant les déplacements aux instants \(t + \Delta t\) et \(t - \Delta t\) par des développements de Taylor autour de l’instant \(t\) et en conservant les termes jusqu’au deuxième ordre en \(\Delta t\), on obtient les équations suivantes.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

En prenant la différence et la somme des équations \(\eqref{eq:2.5.3}\) et \(\eqref{eq:2.5.4}\), on obtient les équations suivantes.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

En substituant les équations \(\eqref{eq:2.5.12}\) et \(\eqref{eq:2.5.13}\) dans l’équation \(\eqref{eq:2.5.9}\), on obtient l’équation suivante.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

En particulier, pour un problème linéaire, \(Q(t) = K_L U(t)\), et l’équation ci-dessus devient

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Si la matrice de masse \(M\) est prise comme matrice de masse concentrée et la matrice d’amortissement comme matrice d’amortissement proportionnel \(C = R_m M\), l’équation \(\eqref{eq:2.5.15}\) ne nécessite pas la résolution d’un système d’équations simultanées.

Par conséquent, à partir de l’équation \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) peut être obtenu par l’équation suivante.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

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