動力分析方法
本節說明採用直接時間積分法的動力問題分析方法。以下分別說明隱式法與顯式法的公式化。
運動方程式的離散化（共通架構）
TBD（於下一階段補充正文）。
隱式法（Newmark-β 法）
針對動力問題，對下式所示運動方程式的求解採用直接時間積分法。
\[\begin{equation}
M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t )
\label{eq:2.5.1}
\end{equation}\]
其中，\(M\) 為質量矩陣，\(C\) 為阻尼矩陣，\(Q\) 為內力向量，\(F\) 為外力向量。
此外，即使在非線性分析中，也假設質量矩陣不隨變形而改變，保持為常數。
時間增量 \(\Delta t\) 內的位移、速度及加速度變化，使用 Newmark-\(\beta\) 法，近似為式 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 與式 \(\eqref{eq:2.5.3}\) 所示。
\[\begin{equation}
\dot{U}(t + \Delta t) =
\frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t)
\label{eq:2.5.2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t)
\label{eq:2.5.3}
\end{equation}\]
其中，\(\gamma\) 、\(\beta\) 為 Newmark-\(\beta\) 法的參數。
如所周知，當 \(\gamma\) 與 \(\beta\) 取下列數值時，分別對應線性加速度法或梯形法則。
\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\) ，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) （線性加速度法）
\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\) ，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) （梯形法則）
將式 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 、式 \(\eqref{eq:2.5.3}\) 代入式 \(\eqref{eq:2.5.1}\) ，可得下式。
\[\begin{align}
\nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t )
- Q ( t + \Delta t ) \\\
\nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t )
+ \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\
&+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t)
+ \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t)
\label{eq:2.5.4}
\end{align}\]
特別是對線性問題，令 \(K_L\) 為線性剛度矩陣，且 \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) ，將此式代入上式，可得下式。
\[\begin{align}
\nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace
&+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\
& + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t})
\label{eq:2.5.5}
\end{align}\]
此外，在幾何邊界條件中指定加速度的位置，可由式 \(\eqref{eq:2.5.2}\) 得到下式所示位移。
\[\begin{equation}
u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t)
\label{eq:2.5.6}
\end{equation}\]
同樣地，在指定速度的位置，可由式 \(\eqref{eq:2.5.6}\) 得到下式所示位移。
\[\begin{equation}
u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t
\frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t)
+(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma}
\ddot{u_{is}}(t)
+\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})
\label{eq:2.5.7}
\end{equation}\]
其中，
\(u_{is}(t+\Delta{t})\) 為時刻 \(t+\Delta{t}\) 的節點位移，\(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) 為時刻 \(t+\Delta{t}\) 的節點速度，
\(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) 為時刻 \(t+\Delta{t}\) 的節點加速度，\(i\) 為節點自由度編號，\(s\) 為節點編號。
此外，質量項與阻尼項的處理如下。
質量項的處理
質量矩陣原則上以集中質量矩陣處理。
阻尼項的處理
阻尼項採用式 \(\eqref{eq:2.5.8}\) 所表示的 Rayleigh 阻尼。
\[\begin{equation}
C = R_m M + R_k K_L
\label{eq:2.5.8}
\end{equation}\]
其中，\(R_m\) 、\(R_k\) 為 Rayleigh 阻尼參數。
在 !DYNAMIC 卡片中指定的 \(R_m\) 、\(R_k\) 會統一套用於整個模型。若要為不同材料指定不同的 \(R_m\) 、\(R_k\) ，請在相應材料的 !MATERIAL 區塊內指定 !DAMPING!DAMPING 之材料的元素，會根據該元素的質量矩陣 \(M_i\) 與切線剛度矩陣 \(K_i\) ，依 \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) 計算元素阻尼矩陣，並組裝至全域阻尼矩陣中。此功能僅在隱式法中有效。
顯式法（中央差分法）
顯式法以下式所示時刻 t 的運動方程式為基礎。
\[\begin{equation}
M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t)
\label{eq:2.5.9}
\end{equation}\]
將時刻 \(t + \Delta t\) 與時刻 \(t - \Delta t\) 的位移，以時刻 \(t\) 為中心作 Taylor 展開，並保留到 \(\Delta t\) 的二次項，可得如下。
\[\begin{equation}
U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t})
+\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2
\label{eq:2.5.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t})
+\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2
\label{eq:2.5.11}
\end{equation}\]
由式 \(\eqref{eq:2.5.3}\) 與式 \(\eqref{eq:2.5.4}\) 的差與和，可得下式。
\[\begin{equation}
\dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}}
(U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t}))
\label{eq:2.5.12}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\ddot{U}=
\frac{1}{(2\Delta{t})^2}
(U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t}))
\label{eq:2.5.13}
\end{equation}\]
將式 \(\eqref{eq:2.5.12}\) 、式 \(\eqref{eq:2.5.13}\) 代入式 \(\eqref{eq:2.5.9}\) ，可得下式。
\[\begin{equation}
\left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\
= F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t)
\label{eq:2.5.14}
\end{equation}\]
特別是對線性問題，\(Q(t) = K_L U(t)\) ，上式變為如下。
\[\begin{equation}
\left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\
= F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t)
\label{eq:2.5.15}
\end{equation}\]
若將質量矩陣 \(M\) 設為集中質量矩陣，並將阻尼矩陣設為比例阻尼矩陣 \(C = R_m M\) ，則式 \(\eqref{eq:2.5.15}\) 不需要求解聯立方程組。
因此，可由式 \(\eqref{eq:2.5.15}\) 依下式求得 \(U(t+\Delta t)\) 。
\[\begin{equation}
U( t + \Delta t ) \\\
= \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \}
\label{eq:2.5.17}
\end{equation}\]
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