內力虛功的離散化¶
增量分析的框架 所示之時刻 \(t + \Delta t\) 的虛功方程式，依參考配置的選擇可分為 Updated Lagrange 法與 Total Lagrange 法兩種。本章使用 形狀函數與有限元素近似 及 形狀函數的空間微分 中導入的有限元素近似，對兩種定式化的內力虛功進行空間離散化，得到元素內力向量 \(\boldsymbol{q}^e\)（UL 法）與 \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL 法）。
對元素 \(e\) 的構成節點 \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)，令其位移為 \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\)，並將元素節點位移向量排列為 \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)，虛位移 \(\delta \boldsymbol{u}^e\) 也以相同順序定義。元素內位移由形狀函數插值為 \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\)。
Updated Lagrange 法的內力虛功¶
Updated Lagrange 法以時刻 \(t\) 的目前配置 \({}^{t}\Omega\) 為參考配置，並以 Cauchy 應力 \(\boldsymbol{\sigma}\) 與 Almansi 應變線性部分 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) 將內力虛功寫為
\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) 的各分量可表示為形狀函數對目前配置座標 \(\boldsymbol{x}\) 的微分 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) 與節點虛位移 \(\delta u^e_{i\alpha}\) 的線性組合，以 Voigt 表示可整理為
節點區塊 \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) 是依 Voigt 規則配置 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) 所形成的 \(6 \times 3\) 矩陣，而 \(\boldsymbol{B}_L\) 即為 UL 法的應變－位移關係矩陣。將其代入內力虛功並將 \(\delta \boldsymbol{u}^e\) 分離後，可得
其中 \(\boldsymbol{q}^e\) 的節點區塊 \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)，即為元素 \(\Omega^e\) 作用於構成節點 \(\alpha\) 的內力。
Total Lagrange 法的內力虛功¶
Total Lagrange 法以基準配置 \(\Omega_0\) 為參考配置，並以第 2 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{S}\) 與 Green-Lagrange 應變 \(\boldsymbol{E}\) 表示為
\(\delta \boldsymbol{E}\) 可分成對虛位移為線性的項，以及包含與目前位移梯度 \(\partial u_k/\partial X_j\) 乘積的非線性項：
線性項可由將 UL 法相同的排列規則套用至 \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) 所得到的節點區塊 \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) 表示為
（因參考配置不同，構成元素只由 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) 改為 \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)，符號則與 UL 法共用）。非線性項使用目前位移梯度 \(\partial u_k/\partial X_j\) 與 \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) 的乘積，依 Voigt 規則排列成節點區塊 \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\)，可寫為
因此 \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\)，而 \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) 即為 TL 法的應變－位移關係矩陣。將其代入內力虛功可得
其中節點區塊 \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) 即為元素 \(\Omega^e_0\) 作用於構成節點 \(\alpha\) 的內力。
UL/TL 的對應關係與計算流程¶
Updated Lagrange 法與 Total Lagrange 法的元素內力向量具有如下對應關係。
| 項目 | Updated Lagrange 法 | Total Lagrange 法 |
|---|---|---|
| 參考配置 | 目前配置 \({}^{t}\Omega^e\) | 基準配置 \(\Omega^e_0\) |
| 應力張量 | Cauchy 應力 \(\boldsymbol{\sigma}\) | 第 2 PK 應力 \(\boldsymbol{S}\) |
| 應變變分 | \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) | \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\) |
| B 矩陣 | \(\boldsymbol{B}_L\)（\(\partial N/\partial x\)） | \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)（\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\)） |
| 元素內力 | \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) | \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\) |
兩者皆可用相同程序處理：「從形狀函數的空間微分組成 \(\boldsymbol{B}_L\)」、「TL 法則由目前位移梯度組成 \(\boldsymbol{B}_{NL}\) 並加上」、「依構成律更新應力（\(\boldsymbol{\sigma}\) 或 \(\boldsymbol{S}\)）」、「在積分點上對元素區域數值積分 \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) 或 \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)（數值積分）」。除了切換參考配置（節點座標與 \(\boldsymbol{B}\) 矩陣的構成）以及替換應力張量外，其餘處理皆共通，因此 FrontISTR 以共用子程式實作兩種方法的內力計算。由元素內力向量 \(\boldsymbol{q}^e\)、\(\boldsymbol{Q}^e\) 組裝成全域內力向量的方式，於 外力虛功與全域方程式的組裝 中說明。