超彈性
本章說明 FrontISTR 支援的超彈性本構律。模型選擇與輸入指定的詳細資訊請參閱功能篇 03_material。
現象（大變形可逆響應）
TBD（下一階段將擴充為完整本文）。
本構律框架
對等向性超彈性材料而言，彈性勢能來自自無應力初始狀態起的等向性響應，
可表示為右 Cauchy-Green 變形張量 \(C\) 的主不變量 \((I_1, I_2, I_3)\)，或去除體積變化後之變形張量主不變量 \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) 的函數，
亦即 \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) 或 \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\)。
超彈性材料的本構式以第二 Piola-Kirchhoff 應力與 Green-Lagrange 應變之間的關係定義，其變形分析採用 Total Lagrange 法。
若已知彈性勢能 \(W\)，即可如下計算第二 Piola-Kirchhoff 應力及應力－應變關係。
\[
S = 2\frac{\partial W}{\partial C}
\]
\[
\mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C}
\]
以下列出 FrontISTR 所採用超彈性模型的彈性勢能 \(W\)。
Neo-Hookean 超彈性模型
Neo-Hookean 超彈性模型是將具有等向性的線性定律（Hooke 定律）延伸至可處理大變形問題的模型。
其彈性勢能如下。
\[
W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2
\]
其中，\(C_{10}\) 與 \(D\) 為材料常數。
Mooney-Rivlin 超彈性模型
\[
W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2
\]
其中，\(C_{10}\)、\(C_{01}\) 與 \(D\) 為材料常數。
Mooney-Rivlin 異向性超彈性模型
\[
W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3
\]
其中，\(C_{10}\)、\(C_{01}\) 與 \(D\) 為與等向性模型共通的材料常數，而 \(C_{42}\) 與 \(C_{43}\) 為異向性模型專用的材料常數。
Arruda-Boyce 超彈性模型
\[
\begin{aligned}
W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\
&\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right)
\end{aligned}
\]
\[
\mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}}
\]
其中，\(\mu_0\)、\(\lambda_m\) 與 \(D\) 為材料常數。
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