線性彈性靜態分析（入門）
此處說明基於微小變形理論的彈性靜態分析定式化。應力－應變關係假設為線性彈性。
本章定位為掌握有限元素法結構分析整體架構的入門內容，並編排為可在單一章節內完整閱讀。
關於虛功原理的一般論（當前構形、初始構形及歸結至微小變形），請參閱虛功原理；線性彈性本構律的詳細內容請參閱線性彈性；張量記法與 Voigt 表示法的約定請參閱張量記法與數學基礎；有限變形的一般定式化請參閱運動、變形與應變；非線性問題的求解方法請參閱切線剛度矩陣。
基礎方程式
在微小變形與線性彈性假設下，固體力學的邊界值問題由平衡方程式、力學邊界條件與幾何邊界條件（基本邊界條件）構成（參見圖 2.1.1）：
\[\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{於} \ V
\label{eq:2.1.1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{於} \ S_t
\label{eq:2.1.2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{於} \ S_u
\label{eq:2.1.3}
\end{equation}\]
其中，\(\boldsymbol{\sigma}\) 為 Cauchy 應力，\(\overline{\boldsymbol{b}}\) 為單位體積的體力，\(\overline{\boldsymbol{t}}\) 為表面力（指定值），\(\overline{\boldsymbol{u}}\) 為指定位移，\(S_t, S_u\) 分別為力學邊界與幾何邊界。
圖 2.1.1 固體力學中的邊界值問題（微小變形問題）
使用對稱梯度運算子，應變－位移關係式為
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}
\label{eq:2.1.4}
\end{equation}\]
線性彈性本構方程式為
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}
\label{eq:2.1.5}
\end{equation}\]
其中 \(\boldsymbol{C}\) 為四階彈性張量。
虛功原理
虛功原理的一般形式（當前構形表示、初始構形表示及歸結至微小變形）彙整於虛功原理。在微小變形與線性彈性假設下，其弱形式為
\[\begin{equation}
\int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS
+ \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV
\label{eq:2.1.6}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{於} \ S_u
\label{eq:2.1.7}
\end{equation}\]
將本構方程式 \eqref{eq:2.1.5} 代入，並以 Voigt 表示法寫成 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)，即可得到直接用於離散化的形式：
\[\begin{equation}
\int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.10}
\end{equation}\]
其中 \(D\) 為線性彈性中的彈性矩陣。式 \eqref{eq:2.1.10} 與式 \eqref{eq:2.1.7} 即為以下進行離散化的虛功原理。
離散化與全域方程式的組裝
將虛功原理式\( \eqref{eq:2.1.10} \)對各有限元素離散化，可得下式。
\[\begin{equation}
\sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.11}
\end{equation}\]
對每個單元，以構成該單元之節點的位移對位移場作如下內插。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.12}
\end{equation}\]
此時，使用式\(\eqref{eq:2.1.4}\)，應變可表示如下。
\[\begin{equation}
\hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.13}
\end{equation}\]
將式\(\eqref{eq:2.1.12}\)、式\(\eqref{eq:2.1.13}\)代入式\(\eqref{eq:2.1.11}\)，可得下式。
\[\begin{equation}
\sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U}
= \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.14}
\end{equation}\]
式\(\eqref{eq:2.1.14}\)可整理為下式。
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.15}
\end{equation}\]
其中，
式\(\eqref{eq:2.1.16}\)與式\(\eqref{eq:2.1.17}\)所定義之矩陣及向量的各分量，可針對每個有限元素計算並疊加組裝。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV
\label{eq:2.1.16}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right)
\label{eq:2.1.17}
\end{equation}\]
由於式\(\eqref{eq:2.1.15}\)對任意虛位移 \(\delta \boldsymbol{U}\) 都成立，因此可得下式。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.18}
\end{equation}\]
另一方面，位移邊界條件式\(\eqref{eq:2.1.3}\)可表示如下。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}}
\label{eq:2.1.19}
\end{equation}\]
求解式\(\eqref{eq:2.1.18}\)，並以拘束條件式\(\eqref{eq:2.1.19}\)為條件，即可決定節點位移 \(\boldsymbol{U}\)。
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