रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण (परिचय)

यह अनुभाग लघु-विरूपण सिद्धांत पर आधारित प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण का सूत्रीकरण प्रस्तुत करता है। प्रतिबल-विकृति संबंध के लिए रैखिक प्रत्यास्थता मानी जाती है। यह अध्याय परिमित तत्त्व संरचनात्मक विश्लेषण की समग्र संरचना समझने के लिए परिचय के रूप में है और इसे एक स्वयंपूर्ण अध्याय के रूप में व्यवस्थित किया गया है।

आभासी कार्य के सिद्धांत के सामान्य रूपों (वर्तमान-विन्यास रूप, प्रारंभिक-विन्यास रूप और लघु-विरूपण में अवकरण) के लिए आभासी कार्य का सिद्धांत देखें; रैखिक-प्रत्यास्थ संरचनात्मक नियम के विवरण के लिए रैखिक प्रत्यास्थता; टेन्सर और Voigt संकेतन की परंपराओं के लिए टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार; परिमित विरूपण के सामान्य सूत्रीकरण के लिए गति, विरूपण और विकृति; और अरेखीय समस्याओं की समाधान विधियों के लिए स्पर्शरेखीय दृढ़ता मैट्रिक्स देखें।

मूल समीकरण

लघु-विरूपण और रैखिक प्रत्यास्थता की मान्यताओं के तहत, ठोस यांत्रिकी की सीमा-मूल्य समस्या में संतुलन समीकरण, यांत्रिक सीमा शर्तें और ज्यामितीय सीमा शर्तें (आवश्यक सीमा शर्तें) शामिल होती हैं (चित्र 2.1.1 देखें):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{में} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{पर} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{पर} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

यहाँ \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy प्रतिबल है, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) प्रति इकाई आयतन पिंड बल है, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) निर्धारित सतही कर्षण है, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) निर्धारित विस्थापन है, और \(S_t, S_u\) क्रमशः यांत्रिक तथा ज्यामितीय सीमाएँ हैं।

चित्र 2.1.1 ठोस यांत्रिकी में सीमा-मूल्य समस्या (लघु-विरूपण समस्या)

सममित ग्रेडिएंट ऑपरेटर का उपयोग करने पर विकृति-विस्थापन संबंध है

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

रैखिक-प्रत्यास्थ संरचनात्मक समीकरण है

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

जहाँ \(\boldsymbol{C}\) चतुर्थ-क्रम प्रत्यास्थता टेन्सर है।

आभासी कार्य का सिद्धांत

आभासी कार्य के सिद्धांत के सामान्य रूप (वर्तमान-विन्यास रूप, प्रारंभिक-विन्यास रूप और लघु-विरूपण में अवकरण) आभासी कार्य का सिद्धांत में संक्षेपित हैं। लघु-विरूपण और रैखिक प्रत्यास्थता की मान्यताओं के तहत दुर्बल रूप है

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{पर} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

संरचनात्मक समीकरण \eqref{eq:2.1.5} को प्रतिस्थापित करके और Voigt संकेतन में \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिखने पर विविक्तीकरण के लिए सीधे प्रयुक्त रूप मिलता है:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

जहाँ \(D\) रैखिक प्रत्यास्थता में परिभाषित प्रत्यास्थ मैट्रिक्स है। समीकरण \eqref{eq:2.1.10} और \eqref{eq:2.1.7} नीचे विविक्त किए जाने वाले आभासी कार्य के सिद्धांत का निर्माण करते हैं।

विविक्तीकरण और समग्र समीकरण का असेंबली

समीकरण \( \eqref{eq:2.1.10} \) में आभासी कार्य के सिद्धांत को परिमित तत्त्वों पर विविक्त करने से मिलता है

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

प्रत्येक तत्त्व के लिए विस्थापन क्षेत्र को तत्त्व बनाने वाले नोडों के विस्थापनों का उपयोग करके निम्न प्रकार इंटरपोलेट किया जाता है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

तब समीकरण \(\eqref{eq:2.1.4}\) से विकृति निम्न प्रकार दी जाती है।

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.12}\) और \(\eqref{eq:2.1.13}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.1.11}\) में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.14}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

यहाँ, समीकरण \(\eqref{eq:2.1.16}\) और \(\eqref{eq:2.1.17}\) द्वारा परिभाषित मैट्रिक्स और सदिश के अवयवों की गणना प्रत्येक परिमित तत्त्व के लिए की जा सकती है और अध्यारोपण द्वारा असेंबल किया जा सकता है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

क्योंकि समीकरण \(\eqref{eq:2.1.15}\) किसी भी आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{U}\) के लिए सत्य है, निम्न समीकरण प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

दूसरी ओर, समीकरण \(\eqref{eq:2.1.3}\) की विस्थापन सीमा शर्त निम्न प्रकार व्यक्त होती है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.19}\) की बाधा शर्त के अधीन समीकरण \(\eqref{eq:2.1.18}\) हल करके नोडल विस्थापन \(\boldsymbol{U}\) निर्धारित किया जा सकता है।

यह भी देखें