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3D ठोस तत्वों के आकृति फलन

आकृति फलन और finite element approximation में प्रस्तुत आकृति फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) के लिए, यह अध्याय continuum analysis में FrontISTR द्वारा उपयोग किए जाने वाले 3D ठोस तत्वों के प्राकृतिक निर्देशांक तंत्र और उनके स्पष्ट रूपों को संक्षेप में प्रस्तुत करता है। इसमें प्रथम/द्वितीय-कोटि चतुष्फलकीय तत्व (341/342), प्रथम/द्वितीय-कोटि त्रिकोणीय प्रिज़्म (351/352), और प्रथम/द्वितीय-कोटि hexahedral तत्व (361/362) के छह प्रकार शामिल हैं। HEC-MW mesh format में node ordering और face numbers के लिए function reference में Element Library देखें।

इन आकृति फलनों और Jacobian determinant से element integration बनाने की प्रक्रिया Numerical Integration के अनुसार है। 361 के B-bar, F-bar और incompatible formulations तथा beam और shell तत्वों के आकृति फलन Advanced Element Formulations में दिए गए हैं।

प्राकृतिक निर्देशांक तंत्र और आंतरिक नोड क्रम

आकृति फलन प्रत्येक तत्व के प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) पर परिभाषित किए जाते हैं। 3D ठोस तत्व, तत्व के आकार के अनुसार निम्न तीन प्राकृतिक निर्देशांक तंत्रों का उपयोग करते हैं।

  • Hexahedral तत्व (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)।
  • चतुष्फलकीय तत्व (341/342): आयतन निर्देशांक \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), जहाँ \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) और \(L_i \ge 0\)। स्वतंत्र चर के रूप में \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) लेने पर \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) होता है।
  • त्रिकोणीय प्रिज़्म (351/352): आधार त्रिभुज के आयतन निर्देशांक \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) और अक्षीय निर्देशांक \(\zeta \in [-1, 1]\) को मिलाकर \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) बनाया जाता है। सहायक राशि \(a = 1 - \xi - \eta\) को आधार का तीसरा आयतन निर्देशांक माना जाता है।

प्रथम-कोटि तत्वों में element-node numbering HEC-MW input format और internal format में समान होती है। द्वितीय-कोटि तत्वों में edge के midside nodes के क्रम की परंपरा दोनों formats में अलग है। FrontISTR input के रूप में HEC-MW format स्वीकार करता है (पहले corner nodes को तत्व के चारों ओर सूचीबद्ध किया जाता है, फिर edge क्रम 1-2, 2-3, … में midside nodes), जबकि element library के आकृति फलन एक अलग node ordering मानकर implement किए गए हैं।

दोनों formats के बीच का अंतर mesh input के तुरंत बाद बुलाए जाने वाले hecmw2fstr_mesh_conv द्वारा प्रत्येक तत्व के nodes को पुनः क्रमित करके हल किया जाता है। 3D ठोस तत्वों में निम्न दो प्रकार convert किए जाते हैं।

तत्व प्रकार Conversion table विवरण
342 (द्वितीय-कोटि चतुष्फलकीय) Table342 10 nodes को \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) क्रम में पुनर्व्यवस्थित करता है
352 (द्वितीय-कोटि त्रिकोणीय प्रिज़्म) Table352 15 nodes को \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) क्रम में पुनर्व्यवस्थित करता है

पुनर्व्यवस्था element connectivity रखने वाले array पर सीधे की जाती है, इसलिए इसके बाद element library की सभी calls FrontISTR के internal node ordering का उपयोग करती हैं। द्वितीय-कोटि hexahedral तत्व 362 के लिए कोई conversion table नहीं है, क्योंकि HEC-MW input और FrontISTR internal format में midside-node क्रम समान है। Result output के समय inverse conversion fstr2hecmw_mesh_conv लिखने से पहले HEC-MW node ordering को पुनर्स्थापित करता है, इसलिए input और output दोनों के लिए user को केवल HEC-MW format का ध्यान रखना पड़ता है। नीचे दिए आकृति फलनों में node numbers conversion के बाद वाले FrontISTR internal format के हैं।

प्रथम-कोटि तत्वों के आकृति फलन

प्रथम-कोटि चतुष्फलकीय तत्व (341) के आकृति फलन स्वयं आयतन निर्देशांक हैं:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

प्रथम-कोटि त्रिकोणीय-प्रिज़्म तत्व (351) के आकृति फलन आधार त्रिभुज के linear shape functions (\(a, \xi, \eta\)) और अक्षीय linear shape functions (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) के गुणनफल हैं:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

प्रथम-कोटि hexahedral तत्व (361) के आकृति फलन तीनों निर्देशांक दिशाओं में linear shape functions के tensor products हैं:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

यहाँ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) node \(\alpha\) के प्राकृतिक निर्देशांक मान हैं (प्रत्येक component \(\pm 1\) है)।

द्वितीय-कोटि तत्वों के आकृति फलन

द्वितीय-कोटि चतुष्फलकीय तत्व (342) के आकृति फलन चार corner nodes और छह midside nodes में विभाजित होते हैं:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Midside nodes 5–10 क्रमशः edges 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 और 3-4 के मध्यबिंदुओं से संबंधित हैं।

द्वितीय-कोटि त्रिकोणीय-प्रिज़्म तत्व (352) छह corner nodes, त्रिकोणीय faces पर छह midside nodes और axial edges पर तीन midside nodes से बना है:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Midside nodes 7–9 नीचे वाले त्रिभुज (\(\zeta = -1\)) के edge midpoints, nodes 10–12 ऊपर वाले त्रिभुज (\(\zeta = +1\)) के edge midpoints और nodes 13–15 axial edges के midpoints से संबंधित हैं।

द्वितीय-कोटि hexahedral तत्व (362) Serendipity family का 20-node element है। Node \(\alpha\) के प्राकृतिक निर्देशांक मान \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) मानें। Corner nodes (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), प्रत्येक component \(\pm 1\)) के लिए,

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Midside nodes (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), तीन प्राकृतिक निर्देशांकों में से एक \(0\) और अन्य दो \(\pm 1\)) के लिए, \(\xi_\alpha = 0\) वाले nodes (जिनके edges \(\xi\) दिशा में हैं) के आकृति फलन

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

जिन midside nodes के edge की दिशा \(\eta\) या \(\zeta\) axis है, उनके लिए भी समान रूप से संबंधित प्राकृतिक निर्देशांक को squared term द्वारा हटाकर रूप प्राप्त होता है।

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