गति, विरूपण और विकृति¶

संदर्भ और वर्तमान विन्यास¶

विन्यासों की परिभाषा¶

भौतिक राशियों का वर्णन किस समय की आकृति को आधार बनाकर किया जा रहा है, इसे अलग करने के लिए इस मैनुअल में दो विन्यास उपयोग किए जाते हैं।

संदर्भ विन्यास: विश्लेषण के आरंभ (समय \(0\)) की अविरूपित आकृति, जिसे प्रारंभिक विन्यास भी कहा जाता है। संदर्भ विन्यास का कोई बिंदु पदार्थ निर्देशांक \(\boldsymbol{X}\) से निरूपित किया जाता है; इसका आयतन \(V\) और सतह \(S\) है।
वर्तमान विन्यास: समय \(t\) पर विरूपित आकृति। वर्तमान विन्यास का कोई बिंदु स्थानिक निर्देशांक \(\boldsymbol{x}\) से निरूपित किया जाता है; इसका आयतन \(v\) और सतह \(s\) है।

गति इन दोनों विन्यासों के बीच मैपिंग \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) से व्यक्त की जाती है, और विस्थापन \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) से परिभाषित होता है।

विन्यास-निर्भर संकेतन (बड़े/छोटे अक्षर)¶

प्रतीक के अक्षर-रूप से यह अलग किया जाता है कि भौतिक राशि किस विन्यास से संबंधित है।

संदर्भ विन्यास से संबंधित राशियाँ बड़े अक्षर वाले प्रतीकों से लिखी जाती हैं (जैसे \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))।
वर्तमान विन्यास से संबंधित राशियाँ छोटे अक्षर वाले प्रतीकों से लिखी जाती हैं (जैसे \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))।
दोनों विन्यासों को जोड़ने वाली राशियाँ, जैसे first Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{P}\), परंपरागत संकेतन उपयोग करती हैं और आवश्यकता अनुसार पाठ में स्पष्ट रूप से पहचानी जाती हैं।
लघु-विरूपण सिद्धांत में दोनों विन्यासों का भेद समाप्त हो जाता है, इसलिए केवल छोटे अक्षर वाले प्रतीक (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) उपयोग किए जाते हैं।

संदर्भ-विन्यास और वर्तमान-विन्यास ग्रेडिएंट¶

स्थानिक अवकलज किस विन्यास के सापेक्ष लिया जाता है, उसके अनुसार संकेतन और अर्थ अलग होते हैं।

संदर्भ-विन्यास ग्रेडिएंट \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): पदार्थ निर्देशांकों के सापेक्ष ग्रेडिएंट। उदाहरण: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)।
वर्तमान-विन्यास ग्रेडिएंट \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): स्थानिक निर्देशांकों के सापेक्ष ग्रेडिएंट। उदाहरण: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)।

इनके बीच संबंध \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) है। समय अवकलज (पदार्थ समय अवकलज \(\dot{(\cdot)}\)) की परंपरा के लिए टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार देखें।

गति का वर्णन¶

गति मैपिंग और पदार्थ/स्थानिक वर्णन¶

यदि किसी सतत माध्यम को समय \(0\) पर स्थितियों \(\boldsymbol{X}\) द्वारा लेबल किए गए पदार्थ बिंदुओं के समुच्चय के रूप में माना जाए, तो गति उस मैपिंग \(\phi\) द्वारा व्यक्त होती है जो प्रत्येक पदार्थ बिंदु \(\boldsymbol{X}\) को समय \(t\) पर उसकी स्थिति \(\boldsymbol{x}\) से जोड़ती है:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

संदर्भ विन्यास को प्रारंभिक विन्यास मानने की परंपरा में \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) है।

स्वतंत्र चरों के चयन के अनुसार दो वर्णन अलग किए जाते हैं।

पदार्थ वर्णन (Lagrangian वर्णन): भौतिक राशियों को \((\boldsymbol{X}, t)\) के फलन के रूप में व्यक्त करता है। ठोस यांत्रिकी में यह स्वाभाविक चयन है क्योंकि संदर्भ विन्यास एक स्थिर आकृति के रूप में दिया जाता है।
स्थानिक वर्णन (Eulerian वर्णन): भौतिक राशियों को \((\boldsymbol{x}, t)\) के फलन के रूप में व्यक्त करता है। द्रव यांत्रिकी में यह मानक वर्णन है।

FrontISTR का संरचनात्मक विश्लेषण मूलतः पदार्थ वर्णन पर आधारित है, लेकिन Updated Lagrange विधि में वर्तमान विन्यास को नया संदर्भ विन्यास बनाया जाता है, इसलिए स्थानिक वर्णन की राशियाँ भी उपयोग होती हैं।

विस्थापन, वेग और त्वरण¶

पिछले अनुभाग के अनुसार विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) को \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) से परिभाषित किया जाता है। इसके परिमाण के बारे में कोई मान्यता नहीं की जाती, इसलिए परिमित विरूपण भी शामिल है। वेग और त्वरण सदिश पदार्थ बिंदु को स्थिर रखते हुए \(\boldsymbol{u}\) के पदार्थ समय अवकलज के रूप में परिभाषित होते हैं:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

इन समीकरणों से वेग और त्वरण परिभाषित होते हैं।

विरूपण ग्रेडिएंट और विरूपण टेन्सर¶

विरूपण ग्रेडिएंट टेन्सर¶

परिमित-विरूपण सतत माध्यम यांत्रिकी की मूल राशि विरूपण ग्रेडिएंट टेन्सर \(\boldsymbol{F}\) है। यह वह रैखिक मैपिंग है जो संदर्भ विन्यास के सूक्ष्म रेखाखंड \(d\boldsymbol{X}\) को वर्तमान विन्यास के सूक्ष्म रेखाखंड \(d\boldsymbol{x}\) में मैप करती है, और इसे पदार्थ निर्देशांकों के सापेक्ष गति मैपिंग के ग्रेडिएंट के रूप में परिभाषित किया जाता है:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

इस प्रकार परिभाषित (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), अविरूपित अवस्था में \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) होता है। \(\boldsymbol{F}\) का व्यापक उपयोग विकृति और प्रतिबल को परिभाषित करने तथा विन्यासों के बीच भौतिक राशियों को रूपांतरित करने में होता है।

आयतन अनुपात¶

संदर्भ विन्यास के सूक्ष्म आयतन \(dV\) और उसके अनुरूप वर्तमान विन्यास के सूक्ष्म आयतन \(dv\) का अनुपात आयतन अनुपात \(J\) कहलाता है:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

सतत माध्यम की व्युत्क्रमणीयता के लिए \(J > 0\) आवश्यक है। द्रव्यमान संरक्षण \(\rho_0 = J\rho\) से व्यक्त होता है।

दायाँ और बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर¶

क्योंकि विरूपण ग्रेडिएंट \(\boldsymbol{F}\) में rigid-body rotation भी शामिल होता है, स्वयं विरूपण के माप ऐसी राशियों का उपयोग करते हैं जिनसे rigid-body rotation हटाया गया हो। दायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{C}\) (संदर्भ विन्यास) और बायाँ Cauchy-Green विरूपण टेन्सर \(\boldsymbol{b}\) (वर्तमान विन्यास) इस प्रकार परिभाषित होते हैं

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

दोनों सममित टेन्सर हैं और इनके स्वमान समान हैं (मुख्य stretches के वर्ग)। अतिप्रत्यास्थ विकृति-ऊर्जा फलनों के प्रमुख invariants इन्हीं टेन्सरों से व्यक्त किए जाते हैं।

विकृति टेन्सर¶

Green-Lagrange विकृति टेन्सर¶

संदर्भ विन्यास से संबद्ध विकृति माप के रूप में Green-Lagrange विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{E}\) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

यह संदर्भ विन्यास में सूक्ष्म सदिशों के आंतरिक गुणनफल के परिवर्तन को दर्शाने वाला सममित टेन्सर है, rigid-body rotation के प्रति अपरिवर्ती है, और अविरूपित अवस्था में \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) संतुष्ट करता है। \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) का उपयोग करने पर मिलता है

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

यह विकृति को विस्थापन ग्रेडिएंट के प्रथम- और द्वितीय-क्रम पदों के योग के रूप में व्यक्त करता है; द्वितीय-क्रम पद ज्यामितीय अरेखीयता को दर्शाता है। Total Lagrange विधि में इसे work-conjugate जोड़ी \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) के रूप में उपयोग किया जाता है।

Almansi विकृति टेन्सर¶

वर्तमान विन्यास से संबद्ध विकृति माप के रूप में Almansi विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{e}\) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

यह Green-Lagrange विकृति से \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back) संबंध से जुड़ा है।

लघु-विकृति टेन्सर¶

जब विस्थापन ग्रेडिएंट छोटा हो (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), तो Green-Lagrange विकृति के द्वितीय-क्रम पद की उपेक्षा की जा सकती है। तब दोनों विन्यासों का भेद समाप्त हो जाता है और यह लघु-विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) में घट जाता है, जहाँ ग्रेडिएंट स्थानिक निर्देशांकों में लिखा जाता है:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR रैखिक स्थैतिक विश्लेषण, मोडल विश्लेषण, आवृत्ति-प्रतिक्रिया विश्लेषण और रैखिक गतिशील विश्लेषण में इसी विकृति माप का उपयोग करता है। परिमित-विरूपण विश्लेषण में Total Lagrange विधि \(\boldsymbol{E}\) का और Updated Lagrange विधि वर्तमान विन्यास से संबद्ध rate-of-deformation टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) का उपयोग करती है।