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Contact Analysis

जब दो bodies संपर्क में आते हैं, तो contact surface के माध्यम से contact force \(t_c\) संचारित होता है। Virtual work के सिद्धांत को निम्न प्रकार पुनर्लिखा जाता है।

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

यहाँ \(S_c\) contact area को, तथा \(u^{(1)}\) और \(u^{(2)}\) क्रमशः contact bodies 1 और 2 के displacements को दर्शाते हैं।

Contact analysis में संभावित contact surfaces को एक जोड़ी के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। जोड़ी की एक surface को master surface और दूसरी को slave surface कहा जाता है। इस master-slave analysis विधि में contact constraint conditions निम्न मानी जाती हैं।

  1. Slave node master surface में प्रवेश नहीं करता।
  2. Contact होने पर slave node contact position पर स्थित होता है, और master तथा slave surfaces इस contact point के माध्यम से एक-दूसरे को contact force और friction force संचारित करती हैं।

Eq.\(\eqref{eq:2.2.70}\) के अंतिम term को finite element method से discretize करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

यहाँ \(K_c\) और \(F_c\) क्रमशः contact stiffness matrix और contact force को दर्शाते हैं। Contact constraints सहित total Lagrangian और updated Lagrangian methods के finite element formulations निम्न हैं।

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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