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Kontaktanalyse

Wenn zwei Körper in Kontakt kommen, wird eine Kontaktkraft \(t_c\) über die Kontaktfläche übertragen. Das Prinzip der virtuellen Arbeit wird wie folgt umgeschrieben.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Hierbei bezeichnet \(S_c\) die Kontaktfläche, und \(u^{(1)}\) und \(u^{(2)}\) bezeichnen die Verschiebungen des Kontaktkörpers 1 bzw. des Kontaktkörpers 2.

Bei der Kontaktanalyse werden Flächen, die potenziell in Kontakt kommen können, als Flächenpaar angegeben. Eine Fläche dieses Paares wird als Master-Fläche, die andere als Slave-Fläche bezeichnet. Bei diesem Master-Slave-Analyseverfahren werden die Kontaktzwangsbedingungen wie folgt angenommen.

  1. Ein Slave-Knoten durchdringt die Master-Fläche nicht.
  2. Wenn Kontakt auftritt, befindet sich der Slave-Knoten an der Kontaktposition, und Master- und Slave-Fläche übertragen über diesen Kontaktpunkt Kontaktkraft und Reibungskraft aufeinander.

Durch Diskretisierung des letzten Terms von Gleichung \(\eqref{eq:2.2.70}\) mittels der Finite-Elemente-Methode erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Hierbei bezeichnen \(K_c\) und \(F_c\) die Kontaktsteifigkeitsmatrix bzw. die Kontaktkraft. Die Finite-Elemente-Formulierungen der Total-Lagrange-Methode und der Updated-Lagrange-Methode unter Berücksichtigung der Kontaktzwangsbedingungen lauten wie folgt.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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